Скачать "Бутузов В. Ф. - Математический анализ - Геометрические приложения (Лекция 21)"
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252Fz1nzYCvOiYc%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
Подождите немного, мы готовим ссылки для удобного просмотра видео без рекламы и его скачивания.
Похожие ролики из нашего каталога
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252F04i9ACUtxTA%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi%252F5e_r8nTcQJQ%252Fsddefault.jpg%253Fsqp%253D-oaymwEmCIAFEOAD8quKqQMa8AEB-AH-BIAC6AKKAgwIABABGHIgUChCMA8%253D%2526rs%253DAOn4CLAT_t4RxcUuqvAPcJ6TYg5rMjrpLA&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252FJunHDfVGA-g%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252FiYsAZcUeum8%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252Fja4uPCWUZG4%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi%252Fu2I2YiyWotw%252Fsddefault.jpg&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252F-CgRnwBMd4o%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252F32WjSPCyfEw%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252FXVPpXDRLFQ0%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252Fv2VawHL1XRg%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
Теги видео
Субтитры
Английский
00:00:09
что там сегодня предстоит рассмотреть00:00:11
прошлый раз мы почти закончили но еще00:00:14
чуть-чуть надо об этом поговорить00:00:16
главу посвященную поверхностным00:00:19
интегралом и двум знаменитым теорема00:00:23
теорема остроградского гаусса и формула00:00:27
стокса или теорема стокса00:00:29
ну вот об этом будет короткая так00:00:32
сказать послесловия00:00:33
а потом последняя она достаточно00:00:36
короткая глава о геометрических00:00:38
приложениях дифференциального исчисления00:00:40
и так я напомню мы с вами сформулировать00:00:45
теорему о формуле стокса а сама формула00:00:48
выглядит таким образом значит int00:00:51
криволинейный интеграл второго рода по00:00:54
замкнутому контуру00:00:55
эй это интеграл общего вида pdx00:01:01
+ q d y +00:01:05
r&d z pqr функции x y z просто для00:01:11
краткости записи00:01:12
мы аргументы не пишем так вот этот00:01:15
интеграл равен00:01:18
поверхностному интегралы по поверхности00:01:23
fi значит fi00:01:27
требование поверхности были такие что00:01:30
эта поверхность но гладкая либо кусочно00:01:33
гладкая00:01:34
ограниченная вот этим самым кусочно00:01:37
гладким контуром и00:01:39
и что еще очень существенно эта00:01:42
поверхность взаимно однозначно00:01:44
проектируется на любую координатную00:01:48
плоскость это мы говорим так называем00:01:51
так поверхность x y z проектируемая так00:01:54
вот интеграл по этой поверхности а00:01:58
подынтегральное выражение такая тут00:02:00
довольно длинное выражение деку pdx00:02:05
минус дппг y скобку закрыть на косинус00:02:12
гамма плюс значит альфа-бета гаммы это00:02:16
будут как обычно углы вот уже угол гамма00:02:20
возник углы которые00:02:22
вектор нормали к выбранной стороне00:02:25
поверхности образуется осями координат00:02:28
за счет гамма это угол сочи z плюс ну я00:02:33
вам что называется честно скажу я00:02:36
никогда эту формулу не запоминаю от00:02:39
начала до конца и я вам уже говорил что00:02:42
достаточно запомнить что первое00:02:44
выражение в скобках в точности такое как00:02:47
формуле грина там собственно под знаком00:02:51
двойного интеграла стоит именно это00:02:53
разность дуку падает звезда папа до y00:02:55
а дальше следующие два слагаемых мы00:02:59
пишем производя циклическую перестановку00:03:02
значит pqr п переходит скуку переходит в00:03:07
р-р переходит в п00:03:08
значит q переходит в r значит будет дрых00:03:15
переходит в y значит д-р пады y минус п00:03:19
переходит в деку00:03:22
y переходу z да куб а до z на косинус00:03:26
альфа и плюс еще 3 аналогичное слагаемое00:03:35
д.п.00:03:37
поди z минус д-р коды x скобку закрыть00:03:49
на косинус бета00:03:52
следите правильно ли я тут все записал00:03:55
исходя вот из этого правила исходя из00:03:58
циклической перестановки р переходит в p00:04:00
q переходит в r y и z z vx д.с.00:04:05
и так вот это и есть знаменитая формула00:04:10
стокса а что еще нужно оговорить size с00:04:14
ней что мы выбираем определенную сторону00:04:17
поверхности и в зависимости от этого00:04:20
альфа бета и гамма это углы вектора на00:04:23
нормале направленного в одну или в00:04:25
другую сторону а направление обхода00:04:29
замкнутого контура и согласована с00:04:32
ориентацией поверхности то есть если мы00:04:36
выбрали00:04:37
давайте нарисуем картинку вот скажем00:04:39
какая-то наша поверхность fi00:04:42
вот выбираем ну условно скажем так00:04:48
верхнюю сторону поверхности00:04:50
так что вектор нормали вверх направлен00:04:52
на тогда00:04:54
для такого выбора стороны поверхности00:04:57
положительное направление обхода контура00:04:59
будет вот таким вот как указано мы00:05:04
оговаривали00:05:05
как выбирается положить или направление00:05:07
обхода контура так вот эту формулу00:05:11
стокса можно записать в очень кратком00:05:14
легко запоминаемым виде00:05:17
а именно давайте введём это мы уже00:05:20
делали введем вектор функцию а с00:05:25
координатами p q r еще раз напомню pqr00:05:31
функцией x y z так что это вектор00:05:33
функция тоже зависит от точки от x y z00:05:38
от координат точки и еще одну вектор00:05:41
функцию00:05:43
которое называется ротор ротор а00:05:50
обозначается так первые три буквы от00:05:53
слова ротор латинские буквы ротор00:05:56
говорят так ротор векторного поля а вот00:06:01
мы ввели векторные поля с компонентами00:06:03
pqr и введем еще одну вектор функцию00:06:06
ротор векторного поля а она записывается00:06:10
так это определитель третьего порядка00:06:13
первая строка координатные векторы ижика00:06:21
вторая строка необычная00:06:24
это строка состоящий из операторов в00:06:29
частных производных dpd x dpd y дпдз а00:06:36
третья строка это координаты вектора а00:06:40
то есть p q r равно00:06:45
давайте распишем это00:06:48
разложив определитель по элементам00:06:52
первой строки00:06:53
какой будет коэффициент при и это вот00:06:56
этот определитель второго порядка00:06:59
вычеркиваем первую столбец и первую00:07:01
строку как нужно трактовать этот00:07:03
определитель00:07:04
а вот как произведение по главной00:07:07
диагонали это оператор dpd y действует00:07:10
на функцию р это будет d рпд y минус00:07:14
произведений по побочные к на диагональ00:07:17
это да куб а до z значит это равно д-р00:07:21
под и y минус деку побежит это00:07:28
коэффициент при и это x avaya компонента00:07:32
этого вектора плюс какой будет00:07:36
коэффициент прижим поскольку00:07:38
элемент же это первая строка второй00:07:41
столбец сумма 1 плюс 2 нечетная то это будет ну00:07:46
вычеркиваем первую строку и второй00:07:47
столбец и берем со знаком минус00:07:51
определитель второго порядка значит00:07:53
сначала по побочной диагонали это будет00:07:55
дпп z минус д-р pdx дппг z минус д-р pdx00:08:05
это коэффициент пряжи00:08:08
ну и плюс наконец коэффициент при к00:08:12
находим его таким же образом это будет00:08:15
докупать и x минус дппг y на вектор к но00:08:27
если мы теперь посмотрим на ну и00:08:31
вспомним к тому же давайте напишем рядом00:08:33
что если м вектор нормали00:08:38
имеет единичную длина его равна единице00:08:41
вектора нормали то его координаты то00:08:44
есть направляющие косинусы00:08:46
ну давайте так напишем косинус альфа на00:08:50
i плюс косинус бета00:08:54
ножи плюс косинус гамма00:09:00
на ко и вот если мы теперь посмотрим на00:09:04
подынтегральное выражение в правой части00:09:08
формулы00:09:09
стокса то что мы видим вот давайте не в00:09:14
том порядке проследим за слагаемыми а00:09:16
вот в каком вот это средние слагаемые00:09:19
drp y минус докупать z д-р подарил00:09:23
докупать и z это их свои координаты00:09:25
вектора ротор а умножается на косинус00:09:29
альфа дальше дппг z минус д-р pdx на00:09:35
косинус бета00:09:36
дпп z минус д-р pdx это игрека вы и00:09:39
координаты вектора таро умножается на00:09:41
кость бета00:09:42
ну и наконец 1 там слагаемое это до пупа00:09:45
до x минус y нeгo постингом тем самым мы00:09:49
видим что то что стоит в квадратных00:09:51
скобках формуле стокса00:09:53
это что такое это скалярное произведение00:09:56
векторов ротор а и вектора нормали00:09:59
а левую часть это ещё когда мы с вами00:10:04
занимались криволинейными интегралами мы00:10:08
записывали так и так формулу стокса00:10:11
можно теперь записать в виде интеграл по00:10:15
замкнутому контуру00:10:16
эль большое а левую часть можно записать00:10:20
как скалярное произведение векторов а и00:10:24
b и вектор а это вектор с координатами00:10:29
pqr так как мы его ввели один вектор с00:10:33
координатами dxd y и z это как бы00:10:36
элементарный вектор направленной вдоль00:10:39
кривой и так левая часть это будет вот00:10:43
такой криволинейный интеграл а правая00:10:46
часть поверхностный интеграл по00:10:48
поверхности фи от скалярного00:10:50
произведения ротор а на единичный вектор00:10:55
нормали00:10:56
ндс вот в таком виде00:10:59
эта формула легко запоминается и оно00:11:04
читается так мы уже такое слово как00:11:08
циркуляция произносили00:11:10
и поток вот то что стоит слева это00:11:13
циркуляция векторного поля а вдоль00:11:16
контура эй а то что стоит справа это00:11:19
поток векторного поля ротор а через00:11:23
поверхность fe00:11:24
ну так давайте запишем эту формулу00:11:27
читается так циркуляция векторного поля00:11:30
а циркуляция векторного поля а вдоль00:11:37
контура и большое равна потоку00:11:46
векторного поля а ротор00:11:48
а через выбранную сторону поверхности fi00:11:56
ограниченное контуром и00:11:58
и так циркуляция векторного поля вдоль00:12:03
контура эй равна потоку00:12:07
векторного поля ротор а через выбранную00:12:10
сторону поверхность уфе00:12:12
ограниченный контуром и мы еще с вами к00:12:17
этой формуле вернемся в начале00:12:18
следующего семестра я уже об этом00:12:20
говорил00:12:21
когда будем изучать скалярные и00:12:24
векторные поля вообще эта формула очень00:12:27
физич на00:12:28
и имеет многочисленные приложения физики00:12:32
вы с ней еще и в самой физики00:12:33
неоднократно встретитесь ну и последнее00:12:37
в этом параграфе что мы с вами00:12:38
рассмотрим вот у нас была в главе00:12:41
криволинейные интегралы00:12:43
теорема об условиях независимости00:12:46
криволинейного интеграла второго рода от00:12:49
пути интегрирования на плоскости вот в00:12:53
точности такая же теорема имеет место00:12:57
для криволинейных интегралов второго00:13:00
рода в пространстве00:13:02
почему как бы мы ее рассматривать здесь00:13:05
они там вот ту теорему00:13:07
в той теореме при доказательстве00:13:09
использовал формула грина00:13:11
а здесь при доказательстве нужна формула00:13:14
стокса а сама доказательства абсолютно00:13:17
такой же как и там и так теоремы 5 у нас00:13:20
очередная теоремы 500:13:22
и давайте в скобках напишем вот это ее00:13:27
длинное название об условиях00:13:30
независимости об условиях независимости00:13:37
криволинейного интеграла второго рода00:13:43
в условиях независимости крепления играл00:13:46
второго рода от пути интегрирования в00:13:48
пространстве от пути интегрирования в00:13:51
пространстве формулировка теоремы очень00:14:03
очень сходно почти такая же как и00:14:07
аналогичные теоремы для криволинейного00:14:10
интеграла 2 рода на плоскости в тереме00:14:15
два утверждения утверждение 1 мы как и00:14:19
там обозначим 1 римская00:14:22
значит пусть пусть функции п ну давайте00:14:28
один раз укажем что они функции x y z p00:14:32
от x y z куат x y z00:14:37
r от x y z 3 функции пусть функции pqr00:14:45
непрерывные в области же большое00:14:50
непрерывные в области же большое тогда00:15:00
следующие три условия00:15:02
эквивалентный абсолютно также00:15:05
формулировалась теорема на плоскости00:15:08
только там было две функции по ecu00:15:10
которые зависели от x и y тогда00:15:12
следующие три условия эквивалентны00:15:15
первое условие для любого замкнутого00:15:23
кусочно гладкого00:15:27
контура эль большое принадлежащего00:15:36
области же криволинейный интеграл по00:15:42
контуру эй pdx00:15:46
плюс куды y + rd z равен нулю второе00:15:57
условие для любых двух точек а и b00:16:05
принадлежащих области же00:16:11
криволинейный интеграл по кривой а бпд x00:16:17
плюс куда y + rd z не зависит не зависит00:16:28
от выбора кривой соединяющей точки a и b00:16:33
ну и разумеется не будем даже это писать00:16:36
вся кривая должна в область уже лежать00:16:39
она не может где то вы тебя потом снова00:16:41
войти00:16:42
итак для любых точек а и b прилежащих00:16:45
области же вот такой криволинейный00:16:48
интеграл от по кривой оба не зависит от00:16:53
выборга евой00:16:55
соединяющей точки a и b и наконец третье00:16:58
условие00:17:00
существует функция от x y z такая что00:17:08
такая что ее дифференциал дэу00:17:13
как раз равен вот этому подынтегральном00:17:16
у выражению pdx плюс кубе y + r&d z00:17:25
ну иначе говоря сушить такая функция у00:17:29
которой чему равны частные производные00:17:32
по x и по y и по z частные производные00:17:35
по x и т.п.00:17:36
по игреку и по z ттр ну и это00:17:41
выполняется во всей области же то есть в00:17:45
любой точке области же при этом это еще00:17:51
не все условие 3 при этом интеграл по00:17:56
кривой а бпд x плюс куды y + rd z равен00:18:07
у в точке b минус у в точке а вот эта00:18:12
самая функция у00:18:14
при этом справедливо такой ravens00:18:16
абсолютно такое же было и00:18:19
для интегралов на плоскости только там00:18:21
было всего два слагаемых pdx bus куда y00:18:24
ну еще говорят так что вот выражение вот00:18:29
эта сумма pdx bus куда игры просто rg z00:18:32
является полным дифференциалом какой00:18:34
смысл вкладывается в эти слова как раз00:18:37
именно вот этот что существует функцию у00:18:39
дифференциал которой равен этому00:18:41
выражению это первое утверждение 200:18:47
римская второе римская если кроме того00:18:54
ну кроме чего собственно у нас условия00:18:57
было одно что функции pqr непрерывные а00:19:00
мы сейчас добавим еще кое что если кроме00:19:02
того00:19:03
функции pqr функции pqr00:19:07
имеют в области же имеют в области уже00:19:12
непрерывные частные производные первого00:19:15
порядка имеют в области уже непрерывные00:19:20
частные производные первого порядка и00:19:26
область же и вот еще дополнительные00:19:29
условия на образе его бы же является00:19:33
поверхностно односвязный что это такое00:19:37
мы скажем чуть позже и о ближе является00:19:39
поверхностно односвязанны00:19:46
то каждая из условий 1-3 вот которые мы00:19:53
перечислили выше00:19:54
то каждая из условий 13 эквивалентно00:19:57
условию 4 equivalent на условию 4 а00:20:05
условие 4 это вот какое вот смотрим на00:20:08
левую доску на а формулу стокса вот00:20:13
каждая круглая скобочка равна нулю00:20:15
то есть напишем это так дику pdx gakupo00:20:21
dx равно дппг y дальше что там у нас д-р00:20:30
под y равно докупать и z д-р по до y00:20:37
равно для губ и даже ну и последняя00:20:42
скобочка дппг z равно д-р pdx дппг z00:20:50
равно д-р pdx ну и это выполняется во00:20:55
всей области же00:20:59
ну а теперь как бы в скобках00:21:01
дополнение к этой теореме область уже о00:21:05
боже называется поверхностно 100:21:09
связанными облой же называется00:21:21
поверхностно 1 связанной если если для00:21:27
любого замкнутого контура эй00:21:30
для любого замкнутого контура эль00:21:37
большое принадлежащего области же00:21:43
существует поверхность fi00:21:46
поверхность и большое с границей и с00:21:52
границей или целиком принадлежащая00:21:56
область уже00:21:57
значит существует поверхность фиг с00:22:01
границей эль целиком принадлежащая00:22:03
области же00:22:07
ну какие00:22:09
какой пример можно привести поверхностно00:22:12
1 связанной области и наоборот который00:22:14
не является по версии 1 связанной скажем00:22:17
про лепид куб это поверхностно связывая00:22:23
областью совершенно ясно если внутри там00:22:25
куба возьмем любой замкнутый контур00:22:28
не обязательно плоский на него как00:22:30
говорят можно натянуть поверхность00:22:32
границей которого будет этот контур и00:22:35
вся эта поверхность лежит в кубе00:22:37
а вот пример поверхностно ни одна00:22:39
связанной области и to top00:22:41
баранка давайте возьмем замкнутый контур00:22:45
проходящий вот так как бы через всю эту00:22:47
баранку00:22:48
какую бы поверхность мы не взяли00:22:51
границей которые будет этот контур она00:22:54
обязательно где-то там внутри вот в этой00:22:57
дырки от бублика выскочат за пределы00:22:59
области же за пределы тора00:23:03
доказательство этой теоремы проводится00:23:05
абсолютно также для плоскости мы ее00:23:07
доказали и вот я вам советую а еще лучше00:23:11
не заглядывая туда попробовать самим00:23:14
доказать ну не будет будет что-то00:23:16
забылось поглядите как там00:23:18
доказательство этой теоремы проводится00:23:20
абсолютно по той же схеме как и00:23:22
аналогичные теоремы для плоскости значит00:23:26
первое утверждение доказывается что из 100:23:29
следует 2 из 2 следует 1 и 2 следует 300:23:34
из 3 следует 1 а второе утверждение00:23:41
доказывается так ис-3 следует 4 из 400:23:47
следует один сейчас или из 4 я уже забыл00:23:53
поглядите вот здесь я поставлю вопрос то00:23:56
есть четыре следует 3 ответа из 3400:24:00
а из 41 именно так а и сама00:24:04
доказательства абсолютно такой же как и00:24:08
для плоскости кроме вот этого последнего00:24:10
момента чтобы доказать что из 4 следует00:24:13
один мы там пользовались формула и грина00:24:16
а здесь надо будет пользоваться формулой00:24:20
стокса ну и совсем уж последнее00:24:24
замечание00:24:25
вот это вот условие 4 если ввести вектор00:24:30
с вот этими координатами ротор а то00:24:32
условие 4 можно записать совершенно00:24:35
коротко условия 4 ротор а векторного00:24:40
поля а равен нулю00:24:43
ну рокер это вектор поэтому справа стоит00:24:46
не число ноль а 0 вектор00:24:49
вот эту теорему нужно уметь доказывать00:24:52
она докатывается несложные как я уже00:24:54
сказал абсолютно также так что00:24:57
претендующие на высший балл конечно00:25:00
должны какую теорему ведь доказать всю00:25:03
мы закончили главу поверхностные00:25:05
интегралы и переходим к последней главе00:25:10
значит в нашей нумерации это глава 1400:25:15
давайте и так назовем геометрические00:25:18
приложения дифференциального исчисления00:25:21
провели бы высказать некоторые00:25:23
геометрические приложения ну слова00:25:25
некоторые не будем стать геометрические00:25:27
приложения дифференциального исчисления00:25:34
тех приложениях пойдет речь00:25:36
что вообще мы умеем делать с помощью00:25:41
дифференциального исчисления в отношении00:25:44
исследования поведения кривых мы умеем00:25:48
для графиков функций y равно f от x00:25:51
ну а также для параметрически заданных00:25:53
кривых находить точки экстремума участке00:25:56
монотонности точки перегиба направлении00:25:59
выпуклости асимптоты это все чему мы00:26:03
учились еще в первом семестре а здесь мы00:26:06
рассмотрим новый цикл вопросов а именно00:26:08
вопрос о так называемом касанье кривых о00:26:12
так называемой огибающей семейства00:26:16
кривых и о кривизне кривой вот три00:26:19
параграфа у нас будут параграф 100:26:22
параграф 1 касание плоских кривых00:26:30
касания плоских кривых00:26:34
о чем еще дадим определение того что00:26:39
значит что две кривые касаются друг00:26:41
друга в какой-то точке значит йесли если00:26:49
кривые и будем их обозначать так кривые00:26:52
эль большое первая цель большое второе00:26:55
если две кривые или 102 имеют общую00:27:01
точку обозначим ее00:27:03
м0 имеют общую точку и мной и в этой00:27:08
точке общую касательную00:27:10
и в этой точке общую касательную то00:27:17
говорят то говорят что кривые или 10200:27:22
касаются в точке м 0 ну касаются понятно00:27:26
друг друга то говорят что кривые или 10200:27:31
касаются в точке мной иногда вместо00:27:33
слова касаются говорят соприкасаются и00:27:36
тот и другой термин используется00:27:37
давайте нарисуем наглядную картинку00:27:41
скажем вот у нас кривая или один вот на00:27:46
ней .00:27:47
и мной вот здесь вот проходит00:27:51
касательная вот я ее обозначу просто00:27:54
буквы и без индексов а кроме того есть 200:27:57
кривая которая тоже проходит через точку00:28:00
м 0 вот кривая l200:28:02
а касательно и у них общая вот тогда00:28:06
говорят что кривые или 102 касаются в00:28:09
точке мной дальше мы будем рассматривать00:28:15
не просто какие-то кривые а кривые и00:28:18
которые являются графиками функций y00:28:20
равно f от x значит пусть пусть00:28:23
кривая или один является графиком00:28:27
функции y равно00:28:29
f1 от x а кривая r2 является графиком00:28:36
функции y равно f2 от x00:28:42
и пусть00:28:45
эти кривые касаются и пусть эти кривые00:28:49
касаются в точке мной с координатами x000:28:54
f1 от x000:28:58
ну понятно раз они касаются в точке 0 то00:29:02
это общая . значит вместо f1 от x0 мы00:29:06
могли бы написать и в 230 это та же00:29:08
самая .00:29:09
давайте тоже здесь нарисуем картинку00:29:14
теперь уже вот у нас есть система00:29:16
координат на плоскости x y ну и вот есть00:29:23
одна кривая скажем это кривая или один00:29:27
вот есть 2 кривая00:29:29
l2 вот эта точка м 0 у нее абсцисса x000:29:42
и в этой точке общая касательная опять00:29:48
же обозначенный буквой l00:29:50
теперь мы возьмем какую-то точку00:29:55
отличную от x0 вот давайте отметим здесь00:30:00
.00:30:01
x отличный от x0 и нас будет00:30:04
интересовать проведём вертикальную00:30:06
прямую через эту точку и вот выделим вот00:30:11
этот отрезок00:30:12
длина которого есть расстояние вот как00:30:16
бы от одной кривой до другой в этом00:30:18
месте понятно чему равна длина этого00:30:23
отрезка это разность f1 минусов 200:30:28
но по модулю потому что вот у меня f100:30:31
больше чем в два но могло быть наоборот00:30:33
длина этого отрезка это модуль f1 от x00:30:38
минус r два от x00:30:43
теперь дальше00:30:45
пусть м-н маленькая00:30:49
натуральное число какое-то натуральное00:30:52
число то есть 1 2 3 какой-то00:30:56
рассмотрим следующий предел рассмотрим00:31:00
лимит при x стремящемся к x0 вот такой00:31:06
дроби в числителе как раз будет стоять00:31:09
длина вот этого отрезка про который мы00:31:11
только что говорили модуль f1 от x минус00:31:16
f 2 x00:31:18
а в знаменателе модуль икс минус икс ной00:31:25
сейчас я напишу он будет в некоторой00:31:27
степени что такое модуль икс минус икс 000:31:29
этот для нам от этого горизонтального00:31:31
отрезка модуль икс минус икс 0 в степени00:31:36
n плюс единица давайте обозначенную00:31:40
предел 1 итак рассмотрим такой предел а00:31:46
теперь сформулируем такое определение00:31:49
определениях если предел 1 а кстати он00:31:56
представляет собой какого вида00:31:57
неопределенность к чему стремится00:31:59
числитель к чему стремится знаменателе00:32:01
бантов нулю когда x стремится к x0 в00:32:05
самой точке x0 у нас f1 и f2 равны00:32:08
также числитель к нулю и когда x00:32:10
стремится к x0 понятно знаменатель00:32:12
эсминцев только положить до себе00:32:13
стремится к нулю00:32:14
так что прием может существовать можете00:32:16
существовать так вот если предел 100:32:18
существует и отличен от нуля если предел00:32:24
1 существует и отличен от нуля00:32:29
то говорят то говорят что порядок00:32:34
касания00:32:36
кривых или 1 и r 2 в точке мной то есть00:32:41
вводится понятие порядка касания кривых00:32:43
то говорят что порядок касаний кривых00:32:45
или 12 в точке 0 равен n равен and00:32:55
если предел 1 равен нулю если предел 100:33:00
равен нулю то говорят что порядок00:33:03
касания выше н00:33:09
и наконец если предел если порядок00:33:14
касания выше любого н такое может быть00:33:17
сейчас мы приведем пример простой не и00:33:19
наконец если порядок касания выше любого00:33:21
ента говорят что passap порядок касанье00:33:24
бесконечный и так водится понятия00:33:28
порядка касания кривых вот если предел 100:33:30
существует и не равен нулю то порядок00:33:33
касанье равен n если равен нулю то00:33:36
порядок касания выше и если выше любого00:33:38
ента говорят что порядок коса не00:33:40
бесконечный давайте рассмотрим пару00:33:43
простых примеров00:33:44
первый пример пусть кривая или 1 это00:33:49
график функции y равно синус x00:33:52
значит f1 это у нас f1 от x это синус x00:33:57
а кривая n 200:34:01
это график функции y равно x то есть f200:34:06
от x это x00:34:08
а в качестве . и мной возьмём начала00:34:13
координат точку с координатами 0 0 ну00:34:17
понятно что и синус x и x равна нулю то00:34:22
есть она графика проходит через эту00:34:24
точку можно даже нарисовать картинку00:34:30
значит вот оси x и y ну . и много у нас00:34:34
сейчас начало координат00:34:36
вот график синуса весь график рисовать00:34:42
не будем вот такой то его кусочек и вот00:34:45
график y равно x значит вот это у нас00:34:51
или два а вот это или один спрашивается00:34:56
каков порядок касания этих кривых ну00:35:00
одна из них прямая но тем не менее она00:35:02
клей то же применимо слова кривая кривая00:35:04
заодно уровнем y равно x00:35:06
каков порядок касание этих кривых в . и00:35:08
мной рассмотрим предел предел при x00:35:13
стремящемся в данном случае к нулю00:35:16
x 0 у нас равно нулю в числителе модуль00:35:21
синуса икс минус икс в знаменателе00:35:26
просто модуль x поскольку и кстати00:35:29
рванули в степени n + 1 равно фигурная00:35:34
скобка этот предел будет зависеть от n00:35:37
давайте вспомним по формуле макларена00:35:40
синус x равен чему00:35:42
икс минус икс куб на 3 ну и дальше более00:35:47
высокие степени икс минус икс00:35:50
сократятся значит числитель ведет себя00:35:53
как синус как x cube на 3 значит если n меньше 2 н00:36:01
меньше двух по isin плюс единица меньше00:36:03
трех а здесь x cube00:36:06
а здесь их с меньшей степени то предел00:36:08
будет равен нулю это если n меньше 200:36:13
если оно равно двум здесь будет x cube и00:36:16
тогда чему будет равен предел 1 300:36:20
поскольку здесь по модулю все берется00:36:22
одна треть если n равно двум но не к00:36:27
естественен больше двух то в числителе00:36:31
x в большей степени чем наоборот в00:36:35
меньшей степени в числителе x cube00:36:36
а взамен ли в степени больше трех придем00:36:40
будет бесконечность то есть не00:36:42
существует00:36:43
если n больше 2 ну отсюда в соответствии00:36:47
с определением мы можем сказать что00:36:50
порядок касания00:36:53
порядок касания вот этих двух кривых в00:36:56
точке и мной с координатами 0 0 равен 200:36:59
равен долго00:37:01
а вот пример это поставьте там цифру 1 а00:37:05
это вот 2 2 примера рассмотрим две такие00:37:08
функции первая функция y равно нулю вот00:37:12
это у нас f1 от x00:37:14
т.е. график это это el1 и у график это00:37:20
ось x ан-200:37:24
это кривая задается так y равно фигурная00:37:28
скобка00:37:29
е в степени минус00:37:32
единицы деленное на x квадрат это если x00:37:36
не равно нулю и 0 если x равна нулю00:37:44
проверьте сами что порядок касанье этих00:37:48
кривых в точке опять же . м0 то же самое00:37:51
с координатами 00 этой другая функция00:37:55
при x равна нулю равный нулю так что не00:37:57
проходит через эту точку увидитесь сами00:38:00
что порядок касания выше любого и00:38:03
то есть порядок касания этих кривых в00:38:06
точке 0 равен бесконечности ну здесь00:38:11
надо вычислить простенькие пределы такие00:38:13
какие вы вычисляли в первом семестре00:38:17
ну обычно00:38:19
дальше ну ведь я рассказывал теорему00:38:24
есть такая теорема которая позволяет00:38:27
определить порядок к sandy исходя не из00:38:30
определения00:38:31
а исходя вот из чего если у нас функции00:38:33
n плюс один раз дифференцируемы f1 от00:38:37
xf-2 tx то есть имеют производный дин00:38:39
трус первого порядка00:38:40
если сами функции и все их производные00:38:44
длинного порядка в точке x0 совпадают а00:38:48
производная плюс первого порядка не00:38:51
равны в точке x0 то порядок касаний00:38:53
равен n и наоборот если перед касания00:38:55
равен in the butt доменной производные00:38:58
все они совпадают00:38:59
ну это рема но само по себе какой-то00:39:03
интерес представляет но нигде дальше00:39:05
использоваться не будет так что идем и00:39:06
не будем даже рассматривать вот такой00:39:09
короткий первый параграф00:39:11
теперь параграф 2 огибающая00:39:20
1 параметрического отпишется в одно00:39:25
слово одно параметрическое семейство00:39:27
кривых00:39:29
огибающая 1 параметрического семейства00:39:32
кривых00:39:37
вот это понятие для нас более важно чем00:39:41
вот упомянутой выше теорема потому что00:39:44
понятие огибающей00:39:46
будет использоваться ровно через год00:39:51
весной на втором курсе вы будете слушать00:39:53
курс дифференциальных уравнений и вот00:39:56
там возникнет понятие огибающей в связи00:40:00
с так называемыми особыми решениями00:40:02
дифференциального уравнения вообще все00:40:06
что мы сейчас делаем математическом00:40:08
анализе чаем какие свойства функций00:40:10
разных вида интегралы разные формулы все00:40:14
это некий математический аппарат который00:40:17
будет использоваться в курсах но уже00:40:19
непосредственно примыкающих к физике в00:40:22
курсе дифференциальных уравнений в курсе00:40:24
методов математической физики в курсе00:40:26
математического моделирования то что00:40:28
будет дальше итак огибающая для00:40:31
параметрического семейства кривых прежде00:40:33
чем говорить про саму огибающую мы00:40:35
поговорим о так называемых особых точках00:40:37
кривых значит 2 будет пункта в нашем00:40:41
параграфы первый пункт особые точки00:40:44
кривых особые точки кривых00:40:51
ну во первых давайте укажем какие есть00:40:58
способы задания кривой на плоскости00:41:01
всюду речь пойдет о плоских кривых мы00:41:05
каждый раз не будем говорить что мы00:41:07
находимся на плоскости значит плоская00:41:11
кривая плоская кривая может быть задано00:41:15
тремя способами плоская кривая то есть00:41:20
кривая на плоскости ну все только00:41:24
плоская кривая на плоскости о x и y то00:41:27
есть мы будем рассматривать кривую в00:41:31
заданной прямоугольной системе координат00:41:33
плоское кривая00:41:34
на плоскостью икс игрек может быть00:41:36
задано тремя способами первый способ00:41:42
и самый простой это явная задания00:41:47
явное задание под этим подразумевается00:41:54
что кривая задается уравнением y равно f00:42:00
от x или наоборот x равно f от y то есть00:42:07
одна из координат точки на кривой00:42:09
задается как функция другой координатор00:42:12
это наиболее простой и хорошо нами уже00:42:15
изученный способ задания для таких00:42:17
кривых мы умеем графики строить там00:42:19
точки экстремумов перегиба находить и00:42:22
так далие второе неявное задание неявное00:42:28
задание это когда кривая задается00:42:34
уравнением напишем его так и в большое00:42:37
от x и y равно нулю00:42:39
из которого может быть y через x и не00:42:43
выразишь и и наоборот x через y00:42:48
ну например например00:42:51
x квадрат плюс y квадрат минус единица00:42:56
равно нулю00:42:57
вот наша функция f большой от икс игрек00:43:01
это x квадрат плюс y квадрат минус есть00:43:05
ница отсюда можно конечно00:43:11
y выразить через x но это выражение00:43:14
неоднозначная что геометрически00:43:17
представляет собой кривая заодно этим00:43:19
уравнением этого хорошо знаете то00:43:21
окружность радиуса единица а у нее есть00:43:23
верхней полуокружности нижняя то что00:43:26
однозначно здесь выражении нет ну и00:43:28
наконец третий способ это00:43:32
параметрическое задание кривой00:43:38
параметрическая00:43:40
это когда x и y задается как функции00:43:45
некоторого параметра t x равно fiat и y00:43:49
равно psy at&t00:43:51
ну ты принадлежит какому-то00:43:54
я обозначу то большое какому-то00:43:57
промежутку то большое так вот наиболее00:44:01
простое и удобное это явное задание а00:44:05
вот ясно кривая за дано неявно или00:44:09
параметрические то у нее могут быть так00:44:12
называемые особые точки в случае явного00:44:14
задания нет никаких особых точек все00:44:16
точки равноправны и они называются00:44:18
обыкновенными так и скажем значит в00:44:22
случае неявного задания неявного ip или00:44:26
параметрического задания кривой случае00:44:30
неявного или параметрического да не00:44:31
кривой00:44:35
кривая может иметь особые точки что это00:44:41
такое сейчас мы скажем но уже забегая00:44:44
вперед я скажу на все точки бы будем00:44:47
подразделять в этом случае на два класса00:44:49
особые00:44:50
и обыкновенные вот обыкновенная такая .00:44:54
сейчас пока не надо писать это мы сейчас00:44:57
запишем в окрестности которой вот если00:45:00
кривая заодно неявные ли параметрически00:45:02
то в окрестности обыкновенной точки00:45:05
можно кривую задать и явным уравнением00:45:09
а вот если особая . то оказывается что00:45:12
такого задания может не быть и так пусть00:45:16
вот рассмотрим два эти случая пусть00:45:19
кривая за дано неявно уравнением f от x00:45:22
и y равно нулю обозначим кривую и пусть00:45:28
кривая эльза дано неявно уравнением f от00:45:31
x y равно нулю и пусть . и мной с00:45:40
координатами x0 y0 принадлежит кривой и00:45:44
то есть что это значит то есть00:45:47
координаты этой точки удовлетворяют00:45:49
уравнению то есть f от x0 y0 равно нулю00:45:55
и вот теперь дадим определение какую же00:46:01
точку мы будем да ну я этого не сказал00:46:04
давайте уж ли это так сказать я говорю в00:46:06
дальнейшем вот какое бы задание перебои00:46:09
мы не рассматривали явно и неявно или00:46:11
параметрическое мы будем считать что вот00:46:13
эти функции задающие кривую не будем00:46:16
каждый раз это оговаривать имеют00:46:18
непрерывные производные имеет ли право и00:46:20
производные так вот теперь дадим00:46:23
определение определение00:46:28
. и мной с координатами x0 y000:46:34
принадлежащая кривой l называется особый00:46:44
в скобках00:46:45
обыкновенной обыкновенный если если00:46:56
выполнено такое условие вот мы будем00:47:01
называть эту точку особой если00:47:06
частная производная по x00:47:08
будем ее обозначать просто и в большой00:47:10
по x с индексом их среду без штриха00:47:12
потому что там у нас степени возникнут00:47:16
ef по x в квадрате от x0 y0 + f по y в00:47:22
квадрате от x0 y0 равно нулю в скобках00:47:30
не равно нулю00:47:31
то есть точка называется особой точка на00:47:35
кривой если в этой точке обе частные00:47:39
производные и по x и по y равны нулю00:47:42
потому что когда сумма квадратов равна00:47:43
нулю00:47:44
когда оба слагаемых равны нулю а вот00:47:47
если хотя бы одно отлично от нуля и тем00:47:49
самым сумма квадратов не равна нулю то .00:47:52
называется обыкновенный ну сейчас00:47:54
сделаем перерыв00:47:55
а после перерыва мы покажем что если .00:47:57
обыкновенная00:47:58
то в окрестности этой точки от вот00:48:01
такого неявного задания можно перейти к00:48:05
явному более простому00:48:07
первое что мы сейчас покажем это что00:48:09
если . обыкновенная00:48:11
то в ее окрестности можно кривую задать00:48:15
явным уравнением значит исходно у нас00:48:18
кривая задано неявным уравнением00:48:21
уравнением f от x y равна нулю и так00:48:24
пусть m 0 пусть м0 с координатами x0 y000:48:34
прилежащая кривой ель обыкновенная .00:48:38
обыкновенная . значит тогда сумма00:48:43
квадратов производных в этой точке не00:48:45
равна нулю значит хотя бы одна из частных00:48:47
производных не равна нулю пусть например00:48:50
и в по y в точке x0 y0 не равно нулю а00:48:57
тогда смотрите сама . а точнее и00:49:02
координаты удовлетворяют уравнению00:49:06
поскольку кривая или точка лежит на00:49:08
кривой f от x0 y0 равно нулю а00:49:11
производная по y не равна нулю но это же00:49:15
как мы знаем давайте вспомним это есть00:49:17
условие теорема неявной функции00:49:19
тогда тогда по теореме о неявной функции00:49:25
тогда по теореме они явные функции в00:49:31
некоторые окрестности точки и мной тогда00:49:35
по теореме неявные функции в некоторые00:49:39
окрестности точки и мной00:49:43
уравнение f от x и y равно нулю00:49:51
имеет единственное решение относительно00:49:54
y имеет единственное решение00:50:00
относительный y обозначим его так как мы00:50:04
обозначили раньше y равно iv малой от x00:50:07
и так вот при этих условиях00:50:13
что f от x0 y0 равно 0 в по y не равно00:50:16
нулю это условие теорема неявной функции00:50:19
по теореме нервной функции внyтри окрест00:50:21
с точки 0 вот это вот уравнение иметь00:50:24
явился решение относительный y и тем00:50:26
самым кривую эль в этой окрестности и00:50:30
тем самым кривые в этой кристен можно00:50:33
задать явным уравнением y равно f от x00:50:37
можно задать явным уравнением y равно iv00:50:41
малый от x00:50:47
ну еще кое-что вспомним при этом функция00:50:51
f малая от x дифференцируема и ее00:50:56
производная f штрих от x выражается я00:51:00
напомню такой формулой минус дробь в00:51:04
числителе00:51:05
f большой а по x от x и y в знаменателе00:51:10
и в большой по y от x и y при условии00:51:16
что вместо y подставить надо рф малая00:51:19
tanks00:51:20
формула-1 итак если . и мной00:51:25
обыкновенная то в окрестность этой точке00:51:30
тут надо 2 в два момента различать такая00:51:33
функция существует00:51:35
можем ли мы найти или нет совершенно00:51:37
другой вопрос иногда ее можно найти в00:51:39
явном виде онега нет но такая функция00:51:41
существует которая дает явное00:51:44
уравнение для нашей кривой и производная00:51:48
этой функции выражается формулой 100:51:51
если же . им 0 особая00:51:54
если же . им 0 особая то в окрестности00:52:02
этой точке кривая может не иметь явного00:52:06
уравнения сейчас мы приведем простой00:52:08
пример если же . им 0 особая то в окрестности00:52:12
этой точке кривая может не иметь явного00:52:15
уравнения00:52:19
давайте рассмотрим такое простое00:52:22
уравнение x квадрат минус y квадрат00:52:26
равно нулю00:52:27
ночь функция f большой от x и y в нашем00:52:32
примере это x квадрат минус y квадрат в00:52:35
качестве точки и мной это вот у нас00:52:39
уравнение некоторые кривой эй в неявном00:52:43
виде в качестве точки 0 возьмем точку00:52:46
ноль ноль понятно что она принадлежит00:52:49
нашей кривой и00:52:51
но теперь ещё раз посмотрим внимательно00:52:53
на уравнение а что фактически она собой00:52:55
определяет y квадрат равно x квадрат00:52:59
здесь y равно либо плюс x либо минус x то есть00:53:03
кривая иль представляет собой две прямые00:53:06
давайте их нарисуем значит вот очень00:53:11
координат x y вот прямая игрек равно икс00:53:15
и вот прямая y равно минус x00:53:22
то есть наша кривая и ну мы используем00:53:25
термин кривая на самом деле эта кривая00:53:28
состоит есть совокупность двух вот этих00:53:31
прямых теперь посмотрите какую пам00:53:34
окрестность начала координат не взяли а00:53:37
у нас сейчас . им 0 это начало координат00:53:39
здесь каждому иксу соответствует 200:53:42
игрека и каждому игроку 2x а то есть нет00:53:49
такого уравнения y равно f от x00:53:52
f малый от x которая описывала бы обе00:53:56
прямые то есть очевидно очевидно что в00:54:00
окрестности точки 0 с координатами 0000:54:03
наша кривая n состоящие вот ретивых не00:54:07
имеет явного уравнения00:54:13
ну теперь рассмотрим случай когда кривая00:54:19
заодно параметрически00:54:21
ночь пусть теперь кривая л задано00:54:26
параметрически пусть кривая или сейчас а00:54:31
мы сформулировали что такое особое . для00:54:33
этой кривой или нет он и уже потеря00:54:38
памяти в конце первого часа или мы не00:54:41
дошли до этого значит ну давайте еще раз00:54:44
корпус кривая заодно параметрически x00:54:46
равно fiat и y равно psy от и пусть .00:54:56
м0 с координатами feat t 000:55:01
psy от иной00:55:06
обыкновенная .00:55:07
то есть то есть сумма квадратов00:55:14
производных fish 3 х в квадрате от t 000:55:17
плюс psyche 3 х в квадрате от 0 не равно00:55:22
нулю00:55:24
особая . это когда сумма квадратов равна00:55:28
нулю и тем самым обе производные и fish00:55:32
терех ipsy штрих в точке t0 равны нулю00:55:34
пустят . обыкновенная мы сейчас увидим00:55:37
очень просто причем что тогда в00:55:40
окрестности этой точке м 0 кривую снова00:55:43
можно задать явным уравнением значит00:55:46
сумма квадратов не равна нулю здесь по00:55:48
крайней мере какой из слагаемых не равно00:55:50
нулю пусть например пусть например fi00:55:53
штрих в точке t000:55:55
не равно нулю00:56:01
тогда тогда00:56:04
fi штрих от t не равно нулю и сохраняет00:56:10
знак и сохраняет знак ну в некоторой00:56:16
окрестности точке t0 ну мы сказали с00:56:22
вами что мы предполагаем что функции00:56:24
которые задают наши кривые неправильно00:56:27
дифференцируемой то есть имеют00:56:28
непрерывные производные значит если fi00:56:30
штрих в точке то но не равно нулю00:56:33
то помним такое свойство устойчивость00:56:36
знака непрерывной функции значит и штрих00:56:38
от t будет отлична от нуля и будет00:56:42
сохранять тот же знак штеффи штрих от t00:56:44
0 в никакой из точке t000:56:46
следовательно следовательно функция x00:56:50
равно fea t будет строго монотонной раз00:56:55
производная сохраняет знак строго00:56:58
монотонно00:57:01
в этой окрестности точке t0 в этой00:57:05
окрестности точке t0 и значит имеет00:57:11
обратную функцию и значит имеет и00:57:15
выпускаете значит существует обратная00:57:18
функция00:57:21
ты равно fi в минус 1 от x и так в этом00:57:29
случае функция x равно fiat строго00:57:32
монотонно и значит существует обратную00:57:35
функцию такие теорему нас были в первом00:57:36
семестре подставляя подставляя это00:57:40
выражение для т в равенство00:57:43
y равно psy от и вот она у нас кривая за00:57:50
одно уравнение миксер вновь от y равно 500:57:52
подставляя это выражение для т в00:57:54
равенстве к хорошей at&t получаем y00:57:58
равно psy pot fi в минус 1 от x ну а это00:58:04
и есть давайте обозначим эту функцию00:58:07
через iv малая от x00:58:11
и таким образом и таким образом в00:58:16
нектаре окрестности точки мной и таким00:58:20
образом в некоторые кусочки м0 кривая n00:58:23
имеет явное задание таким образом не в00:58:27
привычке мной кривая n имеет явные00:58:32
задания если же . и мной с координатами00:58:40
feat ты ноль все оттянуть особая особая00:58:48
то есть обе производный fish 3 в точке00:58:54
t0 ipsy штрих в точке t0 равно нулю00:59:01
то в окрестности точки м 0 то в00:59:06
окрестности точки м 0 кривая может не00:59:10
иметь явного задания может иметь а может00:59:13
не иметь но утверждать что имеет мы не00:59:15
можем этого крест точке м 0 кривая может00:59:19
не иметь явного задания ну можно было бы00:59:22
привести тут массу всяких примеров00:59:24
сэкономим время пример приводить не00:59:26
будем итак теперь мы знаем что такое00:59:28
особые обыкновенные точки00:59:29
если кривая за дано неявно или00:59:33
параметрические то все множество точек00:59:36
кривой делится на два класса00:59:38
обыкновенные и особый особых . может и00:59:41
не быть а могут быть и вот особой .00:59:44
отличается от обыкновенный тем что в00:59:46
окрестности обыкновенной точки имеется00:59:50
явное задание для этой самой кривой00:59:52
а в окрестности особой может не быть ну00:59:56
а теперь переходим уже к основной цели00:59:58
этого параграфа пункт 22 огибающая01:00:02
семейства кривых01:00:05
огибающие семейства кривых ну в заглавии01:00:09
параграфа мы сказали огибающие 101:00:11
параметрическое семейство кривых так что01:00:14
иногда мы слова 1 параметрической будем01:00:16
опускать хотя будем рассматривать именно01:00:18
1 параметрическое семейство кривых что01:00:21
это такое сейчас мы с вами уточним01:00:25
рассмотрим да я поторопился вот когда мы01:00:32
сказали что в окрестности обыкновенной01:00:35
точке кривой заданной параметрически01:00:38
существует явная задание и получили вот01:00:42
эту самую формулу01:00:43
x равно psy01:00:47
от фи в минус 1 от x которые обозначили01:00:52
f от x добавки01:00:55
после этого при этом f штрих от x01:00:59
как вычисляется производная функции01:01:02
заданной параметрически нам понадобится01:01:04
эта формула я напомню01:01:06
эта дробь числитель psy штрих от t01:01:10
знаменатель fi штрих от t01:01:13
где вместо t надо подставить вот эту01:01:16
самую обратную функцию где t равно fi в01:01:22
минус 1 от x01:01:24
давайте эту форму лужу нумеруем 2 она01:01:27
нам тоже понадобится а теперь уже01:01:33
перейдем к огибающей рассмотрим01:01:36
уравнение и в большое01:01:40
от трех переменных x и y а третью01:01:44
переменную обозначим буквой a равно нулю01:01:47
уравнение 301:01:50
где а переменная изменяется на некотором01:01:54
промежутке это может быть и вся числовая01:01:58
прямая может быть какой-то интервал01:02:03
но это не три промежуток пусть пусть01:02:07
для любого значения а уравнение 3 задает01:02:14
мне явно некоторую кривую если мы01:02:18
зафиксируем то это уже уравнение неявное01:02:21
с двумя переменными x y01:02:23
так вот пусть для любого уравнение 301:02:27
задает неявно некоторую кривую01:02:34
совокупность этих значит меняя а будем01:02:37
получать разные кривые совокупность этих01:02:39
кривых называется 1 параметрическим01:02:42
семейством кривых совокупность всех этих01:02:46
кривых называется 1 параметрическим01:02:50
семейством кривых переменная а01:02:54
называется параметром а уравнение 301:03:00
уравнениям семейства кривых переменная01:03:05
называется параметром01:03:06
а уравнение 3 уравнениям семейства01:03:10
кривых давайте рассмотрим простенький01:03:13
пример 1 параметрического семейства01:03:15
кривых рассмотрим такое уравнение пример01:03:21
y минус в скобках01:03:24
x минус а в квадрате равно нулю наш01:03:29
функция f большое от икс игрек01:03:32
а в этом нашем примере это вот эта01:03:36
функция y минус x минус а в квадрате но01:03:39
это уравнение может все так y равно x01:03:41
минус а в квадрате01:03:43
что это за кривая парабола которая в01:03:49
зависимости от а ползает как бы вдоль01:03:52
оси x вот кривые этого семейства01:03:56
давайте нарисуем оси координат x y вот01:04:00
если а равно нулю то это y равно x01:04:04
квадрат это просто вот такая вот хорошо01:04:06
известная школьная пора было это а равно01:04:11
нулю если а больше 0 ну пора было01:04:15
съехала куда-то вправо а больше 0 если а01:04:20
меньше нуля то влево ну и я все что01:04:27
семейство всех таких парабол а меняется01:04:30
от минус до плюс бесконечности она01:04:32
заполняет всю верхнюю полуплоскость01:04:34
ну вот на что обратим внимание что все01:04:38
эти параболы имеют общую касательную ось01:04:42
x и так отметим01:04:45
все эти параболы касаются оси x01:04:52
вот своих вершинках вот такую линию01:04:56
такую кривую но в данном случае она01:04:58
прямая мы сейчас и назовем огибающей01:05:02
определение определение01:05:07
значит кривая кривая , которая в каждой01:05:14
своей точке которые в каждой своей точке01:05:20
касается и притом только одной кривой01:05:24
семейства01:05:25
а в различных точках касается различных01:05:32
кривых семейства нас кривая которое в01:05:37
каждой своей точке касается и притом01:05:39
только одной кривой семейства а в01:05:41
различных точках касается различных01:05:43
карибах семейства называется огибающей01:05:46
этого семейства кривых01:05:49
называется огибающей этого семейства01:05:51
кривых01:05:56
ну вот исходя из этого определения мы01:05:58
можем сказать в рассмотренном примере01:06:01
ось x то есть прямая иль которая01:06:05
задается уравнением y равно нулю это01:06:08
огибающая 1 параметрического семейства01:06:11
парабол вот в этом нашем примере ось x01:06:15
то есть кривая на самом деле она прямая01:06:18
ось x является огибающей 101:06:23
параметрическое семейство параболу01:06:29
ну а теперь наша цель будет состоять вот01:06:32
в чем вот да но конкретно и уравнения01:06:34
конечно в этом простом примере сразу01:06:36
видно01:06:37
мы знаем что каждая при каждом а эта01:06:39
пара была вот мы их нарисовали мы видим01:06:42
что это семейство имеет огибающую но01:06:45
если уровень и более сложное01:06:47
спрашивается как находить огибающую01:06:49
значит вот наша задача выведем01:06:52
необходимая условия огибающей выведем01:06:57
необходимые условия огибающей семейства01:07:00
кривых заданных уравнением 3 будем01:07:02
просто говорить семейства кривых 301:07:04
выведем необходимое условие огибающей01:07:08
семейства кривых 3 теперь смотрите если01:07:15
необходимые условия огибающей то что01:07:19
дано и что надо вывести раз необходимое01:07:23
условие значит огибающие есть пусть один01:07:26
сейчас мы так и напишем пусть семейства01:07:28
3 имеет огибающие отсюда что-то вытекает01:07:31
с необходимостью вот это и будет01:07:32
необходимое условие и так пусть01:07:35
семейства кривых 3 имеет огибающую01:07:38
пусть семейства кривых 3 имеет огибающую01:07:46
обозначим ее буквой r большое ну и вот я01:07:55
нарисую вот пусть это и есть01:07:57
огибающая семейства кривых некоторые01:08:00
кривая или01:08:02
рассмотрим произвольную точку м с01:08:07
координатами x y нeгo огибающей01:08:11
рассмотрим произвольную точку м с01:08:14
координатами с координатами x y нeгo огибающей но что01:08:20
в этой точке происходит по прядение01:08:23
огибающей в этой точке огибающая01:08:26
касается и притом только одной кривой01:08:28
семейства01:08:29
так и напишем в этой точке оги боится и01:08:33
притом только одной кривой семейству01:08:36
тебя нарисую пусть вот это самая кривая01:08:38
семейства которая касается огибающей в01:08:44
точке а что же касается мы знаем это01:08:48
было в первом параграфе значит в этой01:08:49
точке у них общая касательная01:08:51
итак мы взяли произвольную точку на01:08:56
огибающей в этой точке огибающие01:08:59
касается приду только для кого и01:09:00
семейства в свою очередь эта кривая01:09:03
семейства соответствует ни к тому01:09:05
значению параметра а в свою очередь эта01:09:09
кривая семейства соответствует или01:09:12
отвечает ни к тому значению параметра а01:09:19
при этом различным значением а01:09:24
соответствуют различные точки огибающей01:09:28
при этом различным значений парус по01:09:31
определению огибающей при этом различным01:09:33
значением а соответствуют различные01:09:36
точки огибающей01:09:37
и следовательно координаты x и y точке м01:09:44
являются функциями параметра а и01:09:47
следовательно координаты x и y точке м01:09:51
для каждой точки свое значение параметра01:09:55
и наоборот каждому значений параметров01:09:56
своя точка на огибающей и следовательно01:09:59
координаты x и y точке м01:10:01
являются функциями параметра обозначим01:10:04
эти функции так x равно feat a y равно01:10:10
psy от а ну это параметрические01:10:19
уравнения огибающей это параметрические01:10:23
уравнения огибающей и01:10:30
ну а теперь в качестве необходимых01:10:33
условий о которых мы упоминали выведем01:10:36
так и напишем выведем уравнения01:10:39
которым удовлетворяют эти функции01:10:43
выведем уравнение котором удовлетворяют01:10:46
эти функции так как так как01:10:49
. м начнем координата x и y мы01:10:52
обозначили feat обсе а то так как . м с01:10:56
координатами feat обсе а то значит так01:11:03
как .01:11:05
м с координатами fiat а все от а01:11:12
принадлежит также эта точка на огибающей01:11:16
а другой стороны мы видим это точка на01:11:18
кривой семейства на какой кривой01:11:19
соответствующий параметр у а так как .01:11:22
им принадлежит также кривой семейства01:11:30
кривой семейства01:11:36
the idea координаты удовлетворяют01:11:40
уравнению 3 по ее координаты01:11:43
удовлетворяют уравнению 3 то есть01:11:46
справедливо такое равенство и в большое01:11:48
от fiat01:11:50
а psy от а а равно нулю01:11:56
равенству 4 для каких а пополняется01:12:02
равен у-4 для любых мы взяли01:12:05
произвольную точку на огибающей она01:12:07
соответствует какому-то значению а и01:12:09
наоборот каждому значению соответствует01:12:12
своей . на огибающей так что родился 401:12:16
является тождеством по отношению01:12:18
переменная01:12:19
равенство 4 является тождеством по01:12:22
отношению переменная01:12:27
продифференцируем это тождество по а01:12:30
попеременная продифференцируем и01:12:32
торжеству попеременная а ну надо01:12:34
дифференцировать как сложную функцию и в01:12:37
большой зависит от x01:12:38
а x это fiat от y и y от обсе а то и еще01:12:42
от а поэтому когда будем брать01:12:44
производные то получится так fpx вот от01:12:49
всех этих аргументов я для краткости их01:12:51
писать не буду на fig tree had a + f по01:12:57
y на psy штрих-код а + f по а все это01:13:06
берется вместо x надо подставить feat а01:13:09
и вместо y подставить psy от а это равно01:13:14
нулю01:13:16
правил 105 при дифференцированы по01:13:19
а теперь мы пока нигде не использовали01:13:23
тот факт что01:13:26
огибающие и кривая семейства касаются в01:13:29
этой точке сейчас мы этим воспользуемся01:13:32
так как так как01:13:34
огибающие и кривая семейства касаются в01:13:37
точке м с координатами fiat и psy а то01:13:41
так как огибающая и кривая семейства01:13:45
касаются в точке м с координатами feat01:13:49
обсе от а то они имеют в этой точке01:13:56
общую касательную01:13:58
просто по определению касание то они01:14:01
имеют в этой точке общую касательную01:14:07
исследователь на равные угловые01:14:10
коэффициенты касательных и следовательно01:14:16
равные угловые коэффициенты касательных01:14:18
а что такой угловой коэффициент01:14:23
касательной вот если кривая заодно явным01:14:26
уравнением y равно f от x то угловой01:14:31
коэффициент касательной это f штрих от x01:14:33
тангенс угла наклона касательной01:14:35
мы не случайно с вами выписали формулы01:14:38
для производных f штрих от x случае01:14:43
когда кривая заодно параметрические и01:14:45
эта формула 2 и когда кривая за для01:14:47
неявным уравнением приравнивая01:14:50
угловые коэффициенты касательных для01:14:53
огибающей и01:14:55
и для кривой семейства приравнивая01:14:58
угловые коэффициенты касательных01:15:01
для огибающей и для кривой семейства в01:15:05
точке м с координатами feat обсе а то01:15:08
получаем равенство получаем равенство ну01:15:13
я напишу сначала для огибающей огибающей01:15:17
у нас задан а вот этими уравнениями x01:15:20
равно fiat y равно psy а то значит psy01:15:23
штрих от а на фильтре ход а это01:15:29
применяем формулу 2 равно применяем01:15:34
формулу 1 для уговору коэффициента01:15:36
кривой семейства f минус / fpx а01:15:45
x y a knife по y от x y01:15:53
а это нужно взять при x равном feat a y01:15:59
равным psy от а это мы приравняли01:16:06
угловые коэффициенты касательных01:16:08
касательно 1 этажа поэтому угловые01:16:11
коэффициенты они по-разному вычисляются01:16:14
вот по этой формуле слева для огибающая01:16:17
справа для кривой семейства01:16:19
отсюда следует отсюда следует01:16:22
оттуда чередовать к и такое равенство01:16:25
fpx01:16:26
на fig tree had a + f по y на psy01:16:32
штрих-код а равно нулю ну давайте01:16:38
напишем более детально при x равном feat01:16:41
a y равным все от а равно нулю значит01:16:48
это у нас какой-то номер там было 4501:16:50
номер 601:16:51
а теперь посмотрим на равенство 5 вот01:16:57
первые два слагаемых здесь fpx на01:17:00
фильтре had a + f по y на всю штриха то01:17:03
при x равном fiat y равна вся то это в01:17:06
точностью то что стоит слева равенстве 601:17:09
значит в силу 601:17:11
филу 6 равенство 5 принимает вид филу 601:17:16
равенство 5 принимает вид01:17:24
наш разум и первых двух слагаемых равна01:17:27
нулю01:17:28
то вот эта оставшаяся треть это же равно01:17:31
нулю01:17:32
равенству 6 принимает вид f по от fiat01:17:37
а psy от а01:17:40
а равно нулю правил 107 ну а теперь01:17:49
давайте подытожим то что мы получили01:17:51
таким образом таким образом если01:17:55
семейства кривых 3 вот она была у нас01:17:58
одна уравнением 3 таким образом если01:18:01
семейства кривых 3 имеет огибающую имеет01:18:09
огибающую01:18:10
то функции x равно fiat y равно psy от а01:18:14
то функции и которого fiat y равно psy а01:18:18
то01:18:19
задающие эту огибающую удовлетворяют01:18:22
равенством 4 и 701:18:24
таким образом если семейства кривых 301:18:30
имеет огибающую то функции x равно fiat01:18:33
y равно вся та задающий эту огибающую01:18:35
убирают равенством 47 то есть эти01:18:41
функции являются решением системы01:18:45
уравнений то есть эти функции являются01:18:49
решением системы уравнений01:18:55
f большое от x y a равно нулю и впо а01:19:03
частные производные по от x и y a равно01:19:08
нулю01:19:09
система уравнений 8 это и есть01:19:14
необходимые условия огибающей01:19:17
это и есть необходимое условие огибающей01:19:21
значит что мы с вами вывели что если01:19:24
огибающая есть то функции x равно fiat y01:19:28
равно xy а то являются решением системы01:19:30
уравнений 8 функций описывающий01:19:32
огибающую01:19:34
какой же отсюда вывод я со система 8 не01:19:38
имеет решения относительно x y какой01:19:41
может быть если система 8 не имеет решение цветной01:19:44
x y01:19:45
то семейства 3 не имеет огибающей то01:19:52
семейства 3 не имеет огибающей потому01:19:56
что собаки боюсь я была та себе система01:20:01
80 необходимых имела бы решения а если01:20:04
имеет решение и все равно fiat и герка01:20:06
вообще-то мы не можем сказать что это01:20:08
будет обязательно огибающей01:20:10
поэтому напишем так если же система 801:20:13
имеет решение я служу систему 8 имеет01:20:17
решение x равно feat a y равно psy а то01:20:27
то это решение может и не быть01:20:30
огибающая может быть а может не быть то01:20:33
это решение может и не быть огибающая01:20:35
сейчас мы объясним почему01:20:45
ну в самом деле в самом деле как мы01:20:49
получили вообще вот это последнее второе01:20:51
уравнение и впо равно нулю мы01:20:53
воспользовались с равенством 6 а равен01:20:56
сушить мы написали исходя из равенства01:20:58
угловых коэффициентов в самом деле равен01:21:01
106 выполняется также и в том случае01:21:04
равен сушись выполняется также и в том01:21:07
случае когда либо и в по y под feat а01:21:16
psy от а а равно fpx01:21:23
от feat a seat01:21:27
а а равно нулю когда обе части придут01:21:32
самом деле смотрим на раньше 601:21:34
если fpx при x равном 5 грамм сатаев по01:21:38
y равны нулю толпа слагаемых равна нулю01:21:41
либо либо fig tree at a равно psy штрих01:21:51
от t равно нулю в этом случае тоже01:21:57
каждое слагаемое равно нулю сумма равна01:22:00
нулю а что это означает в первом случае01:22:04
в первом случае .01:22:07
м с координатами feat a seat а в первом01:22:12
случае .01:22:15
м с координатами fed up является особой01:22:17
точкой 7 особой точки семейства кривых01:22:20
особой . семейства кривых у нас каждая01:22:25
кривая заодно неявным уравнением ну уж01:22:28
сказать даже не семейства кривых особой01:22:30
точкой кривой семейства по и кривой01:22:33
который отвечает параметру а значит в01:22:35
первом случае . и являя собой точкой01:22:38
кривой семейства во втором случае особой01:22:41
. gebo особой точкой кривой01:22:46
заданной уравнениями x равно fiat обсе01:22:49
от а вот мы предположили что решение01:22:52
есть но она может не быть огибающей01:22:56
объясняем почему потому что01:22:58
106 выполняется не только в том случае01:23:02
когда касаются огибающие кривая01:23:04
семейства ну и в том случае когда либо01:23:06
так либо так в первом случае . им01:23:10
является особой точкой кривой семейства01:23:12
во втором случае особой точкой кривой01:23:15
вот описываемый вот этими уравнениями01:23:18
все равно fiat y равно psy а то01:23:21
поэтому рассматривая систему 7 систему 801:23:26
мы и получив какое теории решению мы не01:23:30
можем утверждать01:23:33
априори как говорят что это будет01:23:35
обязательно огибающая поэтому здесь01:23:37
водится специальные названия решения01:23:40
решения x равно fiat y равно psy а то01:23:43
системы 8 называется дискриминант най01:23:47
кривой семейства кривых 301:23:49
решение x равно fiat игреком все а то01:23:55
систему 8 называется дискриминант най01:23:59
кривой все семейство кривых 301:24:04
таким образом дискриминант на я кривая01:24:07
таким образом дискриминант на я кривая01:24:11
может быть может быть либо огибающей01:24:21
либо множеством особых точек таким01:24:25
образом дискриминант на я кривая может01:24:27
быть то есть решение системы 8 может01:24:30
быть либо огибающей либо множеством01:24:34
особых точек01:24:35
либо частично тем частично другим либо01:24:39
частично тем частично другим сейчас мы01:24:42
рассмотрим такой пример очень такой01:24:44
яркий показательный пример ну и так01:24:48
какой же общий вывод его уже не надо01:24:50
записывать что вот если мы имеем01:24:52
семейства кривых которые задана01:24:53
уравнением f от x и y a равна нулю при01:24:56
каждом а получается какая-то кривая01:24:58
семейства то чтобы найти огибающую надо01:25:01
рассмотреть систему уравнений 8 если у01:25:05
нее нет решений относительно x y то и01:25:07
никакой огибающей нет а если есть01:25:09
решение то еще там надо его дальше01:25:11
исследовать01:25:12
она может быть огибающая может быть01:25:14
множеством особых точек а может быть01:25:16
решение не одно какой-то дает огибающую01:25:19
какой-то множество особых точек вот это01:25:21
мы сейчас увидим на примере пример01:25:23
пример01:25:25
рассмотрим такое уравнение x минус а в01:25:30
кубе минус игрек минус а в квадрате01:25:35
равно нулю01:25:37
значит наша функция f большое от икс01:25:40
игрек01:25:41
а это вот такая функция при каждом а мы01:25:47
получаем какую-то кривую на плоскости x01:25:49
y смотрите если давать например положим01:25:53
равным нулю будет x cube01:25:55
минус y квадрата равна нулю значит вот01:25:57
при а равном нулю мы получаем y квадрат01:26:02
равно x cube01:26:04
и значит y равно плюс или минус x в01:26:09
степени три вторых01:26:12
две кривые y плюс x минус ну вот я со01:26:18
здесь стоит мне три вторых а квадрат то01:26:21
это парабола а иногда говори01:26:24
квадратичная парабола если куб говорят01:26:26
кубическая парабола01:26:27
а из три вторых как бы вы назвали эту01:26:29
кривую полу кубическая парабола01:26:32
поэтому говорят так это семейство полу01:26:34
кубических по рабам семейства полу01:26:37
кубических парабол сейчас чуть-чуть01:26:39
спустя пару минут моего нарисуем давайте01:26:42
добавим к этому рак будем искать01:26:44
огибающую семейства добавим к этому01:26:46
уравнению вот в системе 8 еще входит01:26:50
уравнение ef по вычисляем производную ef01:26:53
по значит ef по равна производная по вот01:26:59
от первого слагаемого будет минус 3x01:27:03
минус а в квадрате и надеюсь производные01:27:08
мы все умеем вычислять поэтому я не01:27:09
объясняю почему здесь минус насчет этого01:27:11
минуса плюс 2y минус а равно нулю01:27:18
ну вот система 8 такое уравнение и такое01:27:22
решается она очень просто вот отсюда01:27:26
y минус а это будет три вторых x минус а01:27:28
в квадрате подставим сюда система легко01:27:32
решается значит вот из этой системы я01:27:36
сразу напишу мы получаем два решения 1 x01:27:40
равно y равно а обозначим это решение01:27:43
el1 а второе решение01:27:48
x равно а + 4 девятых y равно а +01:27:56
820 седьмых обозначим это решение01:28:00
l2 проверьте сами решить очень просто и01:28:06
вы легко убедитесь что это так что собой01:28:09
представляет первое решение01:28:11
но его же можно записать в виде или один01:28:15
это прямая игрек равно икс01:28:19
а или 201:28:25
это прямая если исключить параметра из01:28:28
этих двух уравнений01:28:29
то получим игрек равно икс минус01:28:33
проверьте это сами -4 20 седьмых x-fi01:28:38
защиты 27 и так дискриминант на я кривая01:28:42
у данного семейства кривых представляет01:28:45
собой две прямые причем параллельные01:28:49
прямые01:28:51
но в точках кривой или 1 ну или лучше01:29:00
сказать на кривой или один на или один01:29:05
что мы имеем смотрите x равна y равно а01:29:09
а производная f по x чему равна 3x минус01:29:14
а в квадрате так что она равна нулю при01:29:17
x равном а01:29:18
а производная f по y а чему равно минус01:29:21
2y минус а она равна нулю при y равным а01:29:25
так что на кривой или 1ф по x равно f по01:29:33
y равно нулю01:29:36
то есть кривая или один или прямая на01:29:40
самом деле или один это множество особых01:29:43
точек кривых семейства это множество01:29:46
особых точек кривых семейства а кривая01:29:49
r2 является огибающей сейчас мы нарисуем01:29:52
картинку это будет наглядно видно а01:29:54
прямая или 2 является огибающей но01:29:58
картинка вот какая значит вот рисуем оси01:30:02
координат01:30:07
вот прямая или один игрек равно икс вот01:30:15
прямая l 2 параллельные ей01:30:18
y равно x минус 4 20 седьмых она01:30:21
опущенна если смотреть по оси y она01:30:25
опущенна на 420 седьмых по отношению01:30:28
прямой или 101:30:30
и вот если мы возьмем скажем а равное01:30:33
нулю вот эту кривую y равно плюс и в01:30:41
степени три вторых y равно минус это01:30:45
будет вот такая кривая вот она выходит01:30:48
из начала координат01:30:51
касается где-то кривой или два и уходит01:30:56
вверх как x степени три вторых а и y01:31:00
равно минус x степени три вторых вот01:31:03
симметрично идет вниз если мы возьмем01:31:07
любую другую точку то надо вот эту самую01:31:12
вот эту полу кубическую параболу с вот01:31:15
таким клювом можно так сказать01:31:17
передвинуть вдоль или 1 значит она будет01:31:20
так себя вести вот она где то здесь01:31:24
коснется вот я выделю вот эти точки01:31:28
касания01:31:29
кривой прямой m2 ну а здесь пойдет вниз01:31:32
ну и так далее вот можно эту полу01:31:36
кубическую параболу положительную ветвь01:31:38
и отрицать любить передвигать01:31:41
параллельно самой себе так чтоб01:31:43
вершинкой двигалась по или один вот01:31:45
тогда мы изобразим все семейство этих01:31:48
полу кубических парабол и вот мы видим01:31:50
что действительно а вот выделенные мной01:31:55
точки точки касания то есть едва01:31:57
касается всех этих кривых а или один это01:32:01
геометрическое место особых точек ну вот01:32:06
все прогибаюсь единственное как то что я01:32:10
уже сказал в начале это понятие будет01:32:12
использоваться в теории дифференциальных01:32:13
уравнений01:32:15
вот когда вы будете на втором курсе01:32:18
изучать обыкновенные дифференциальные01:32:19
уравнения то выяснится что скажем если01:32:22
самое простое дифференциальное уравнение01:32:24
первого порядка01:32:25
это уравнение такого вида да и гриппа dx01:32:28
да и гриппа dx равно f от x и y01:32:33
вот это уравнение бесконечное множество01:32:36
решений за вещи от произвольной01:32:38
постоянной то есть решения01:32:40
общее решение как говорят это будет01:32:43
какая-то функция nu fi01:32:46
от x и от параметра а обычно он01:32:51
обозначается в теории вида тварей буквой01:32:53
c но я напишу а потому что вот у нас01:32:55
здесь обозначение а а это не что иное как01:32:59
уравнение 1 параметрического семейства01:33:01
кривых за вещь их от параметра и вот у01:33:04
этого семейства может быть огибающая и01:33:06
это огибающая является так называемым01:33:09
особым решением этого дифференциального01:33:11
уравнения ну а подробно об этом в курсе01:33:13
дифференциальных уравнений нам остался01:33:16
один не длинный параграф я думаю минут в01:33:19
20 мы должны уложиться про кривизну01:33:23
кривой давайте договоримся либо01:33:25
прочитаете сами про кривизну кривой либо01:33:29
вот давайте 20 минут чего потратим мы01:33:32
можем сделать сейчас перерывчик на пару01:33:33
минут можем не делать как поступим01:33:36
рассказать01:33:39
ну кивки в основном такие ну хорошо01:33:42
будем делать перерыв или нет не будем01:33:45
хорошо тогда параграф 301:33:47
кривизна плоской кривой параграф 301:33:50
кривизна плоской кривой ну некое как бы01:33:54
такое01:33:55
начальное интуитивное представление о01:33:58
кривизне каждый имеет ну есть прямые01:34:01
линии есть кривые линии вот давайте мы я01:34:04
нарисую некую кривую линию рассмотрим01:34:07
кривую линию вот как-то так я и и01:34:11
изображу01:34:12
и выделю на ней два участка одинаковой01:34:15
длины обозначу их 1 и 2 итак на кривой01:34:24
обозначим кривую эль большое выделены01:34:27
два участка одинаковой длины 1 и 201:34:33
что мы можем сказать01:34:35
исходя из наглядных представлений но что01:34:39
интуитивно ясно что01:34:41
искривленностью участка два больше чем01:34:44
участка один так ведь интуитивно ясно01:34:47
что искривленностью участка два больше01:34:50
чем участка 101:34:56
ну вот наша задача а как количественно01:34:58
описать искривленностью количественно01:35:01
описать тот факт что искривленную сейчас01:35:03
co2 больше чем участка один вот эту01:35:05
количественную меру искривлена steam и01:35:07
назовем чуть позже кривизной довольно01:35:09
быстро уже назовем кривизны рассмотрим01:35:12
кривую и рассмотрим кривую эй01:35:16
ну вот как-то так я и и изображу01:35:19
рассмотрим кривую эль в каждой точке01:35:23
которой существует касательно и в каждой01:35:27
точке которой существует касательно01:35:34
будем рассматривать в каждой точке01:35:36
направленную касательную будем01:35:43
рассматривать в каждой точке01:35:44
направленную касательно совесть01:35:46
направленную как там уже термин01:35:49
использовали направление касательной выберем01:35:52
соответствующим направлению движения по01:35:55
кривой направление касательной выберем01:35:58
соответствующим направлению движения по01:36:01
кривой отметим на кривой две точки м 0 и01:36:07
м1 вот отметили на кривой две точки м 001:36:12
м 1 ну будем считать что мы движемся от01:36:15
м0 com 101:36:17
вот направленная касательная в точке01:36:19
мной направлении соответствует движению01:36:24
от м0 com 101:36:26
и вот направленная касательная в точке м01:36:29
1 но давайте продолжим вниз так что вот01:36:33
здесь вот образовался некий угол между01:36:36
угол на которой повернулась направленная01:36:40
касательной в точке 0 когда мы движемся01:36:42
только madden поворачивается и вот она01:36:45
повернулась на такой угол обозначим01:36:48
длину01:36:50
участках кривой м 0 м 1 ну чтобы это01:36:56
воспринималось как кривая вот я тут01:36:58
значок дуги поставлю длина участка01:37:01
кривую и 01 через дельты и01:37:04
а вот этот угол между направленными01:37:07
касательными01:37:08
из дельты fe причем неважно в какую01:37:13
сторону повернулась будем считать что01:37:15
дельта fit больше или равно нулю01:37:20
иногда вводят дельты fees знаком но нам01:37:24
вполне достаточно будет считать неважно01:37:25
в какую сторону пересказать дэльфи01:37:27
большую равна нулю теперь смотрите01:37:29
из наглядных соображений ясно что чем01:37:34
больше искривленностью01:37:35
тем на больший угол искривленных вот01:37:38
кривой тем на больший угол повернется01:37:40
касательная и наоборот чем на больший01:37:43
угол придется касательная тем больше01:37:46
искривилось если скажем это прямая линия01:37:48
потом касательная совпадает самой прямой01:37:50
она не вообще ни на какой угол не01:37:52
повернется вот эти наглядные соображения01:37:56
мы положим в основу определения кривизны01:37:59
определение определение средней01:38:05
кривизной01:38:06
средний кривизной участка кривой м 0 м 101:38:11
средний кривизной участка кривой м 0 м 101:38:17
назовем отношения дэльта fi к дельте эй01:38:26
ну и будем обозначать эту среднюю01:38:29
кривизну так буквой к01:38:31
а внизу указывать какой участок кривой к01:38:34
а внизу пишем м 0 м 1 итак средняя01:38:39
кривизной участка кривое многим один01:38:41
называем вот это отношение дельты фиг01:38:43
del del01:38:44
обозначаем его к ко многим 1а кривизной01:38:48
кривой в точке и мной кривизна это01:38:54
понятие точечная а кривизной крови в01:38:58
точке моль назовем предел вот этой01:39:03
средней кривизны к м 0 м 1 при условии01:39:09
что .01:39:10
м1 стремится к точке 0 ну и внизу еще01:39:15
напишем м1 при этом принадлежит01:39:17
л01:39:18
то есть . и мной . м1 стремится к точке01:39:21
м двигаясь по кривой l01:39:23
а кривизной кривой в точке м 0 назовем01:39:26
вот этот предел ну и обозначать будем ее01:39:29
так к от м0 к от и мной это похоже на то01:39:38
как мы вводили понятие производной01:39:40
трактуя производную как скорость мы01:39:42
сначала берем среднюю отношения дельта y01:39:45
дельта x01:39:46
если x это время а y там координата01:39:50
поговорили дельта y дельта x это средняя01:39:52
скорость на промежутке дельта x01:39:55
а предел средняя скорость это мгновенная01:39:58
скорость там же и здесь есть средняя01:40:00
кривизна и предел средний кривизны эта01:40:02
кривизна в данной точке ну рассмотрим01:40:05
простые примеры простые примеры 101:40:10
примера01:40:16
первый пример давайте в качестве кривой01:40:19
возьмем прямую вот пусть01:40:23
эй это прямая линия вот взяли любую01:40:27
точку м 0 вот направленная касательной в01:40:31
этой точке взяли произвольную точку м 101:40:34
вот направленное касательно в этой точке01:40:37
совершенно ясно что дельта fi равно нулю01:40:41
касательно никак не поворачивается01:40:44
значит средние кривизна для любого01:40:48
участка прямой равна нулю и кривизна в01:40:53
любой точке равна нулю но иногда говорят01:40:58
так у прямой нет кривизны ну на самом01:41:02
деле не совсем точно кривизна это число01:41:04
просто01:41:05
кривизна как понятие математическое есть01:41:08
но она равна нулю и так же как если бы01:41:11
комментатор вот счет идет там хоккейный01:41:13
матч говорят там счет не открыт но вот01:41:17
если проводить аналогию когда говорят01:41:19
что у прямой нет кривизны ну это01:41:22
аналогично осчета нет ну как нет счет 0001:41:25
счет есть 000 также его прямой кривизна01:41:29
есть она равна нулю01:41:30
второй пример давайте рассмотрим01:41:34
окружность радиуса r большое вот01:41:38
окружность радиуса r возьмем на ней две01:41:42
точки м 0 и01:41:45
м1 вот направленная касательная движемся01:41:51
от м0 com1 вот направленное касательная01:41:53
в точке м 0 вот направленная касательная01:41:57
в точке м один вот этот угол дельта fi01:42:01
а вот этот угол нетрудно сообразить это01:42:05
углы соответственны перпендикулярными01:42:07
сторонами тоже delphi01:42:09
а длина м 0 м 1 г т л и то есть r на01:42:18
дельте fi01:42:19
верно дельты fe но это хорошо нам с вами01:42:23
известно из курса планиметрии01:42:26
этому средняя кривизна к м 0 м 1 равное01:42:32
дельта fi в дельта р равно единице на r01:42:38
то есть средняя кривизна любого участка01:42:42
окружности это постоянная величина01:42:44
обратно пропорциональна радиусу а01:42:47
кривизна в любой точке предел этой01:42:51
постоянной01:42:52
разумеется равен самой этой постоянной01:42:55
то есть к в любой точке м 0 равно01:42:58
единице на р-ну01:43:01
это в какой-то мере понятно вот взяли01:43:04
окружность а теперь давайте увеличивать01:43:05
радиуса кружится за все больше больше01:43:07
больше и совершенно ясно что чем больше01:43:11
окружность когда мы берем на ней01:43:13
какой-нибудь кусочек тем ближе он к01:43:15
прямой01:43:16
при h стремящемся к бесконечности01:43:18
конечно же кривизна стремится к нулю01:43:21
третий пример 3 примера давайте возьмем01:43:25
теперь не окружность01:43:27
а эллипс заданный каноническим01:43:30
уравнением01:43:36
значит третий пример кривая n это эллипс01:43:39
заданный уравнение x квадрат на квадрат01:43:43
плюс y квадрат на b квадрат равно01:43:46
единице пусть у нас a больше b01:43:50
полуось а больше полу оси b давайте01:43:54
нарисуем этот эллипс значит оси x y ну и01:44:01
я возьму такой эллипсу которого а раза в01:44:05
два больше чем b01:44:07
вот отметим две вершины этого эллипса01:44:10
вот точке м 1 m1 и m201:44:17
вершины эллипса лежащие на осях01:44:21
координат из-за интуитивных соображений01:44:24
ясно что кривизна к в точке значит вот01:44:29
это вот у нас полуось а это полуось б01:44:33
что привязано к в точке м 1 каким знаком01:44:38
связано с кривизной к в точке м 25 из01:44:42
наглядных соображений где кривизна01:44:44
больше в какой точке ну и в точке м 101:44:47
конечно то есть спрыгну вот это01:44:50
неравенство спрашивается ну а как это01:44:52
доказать а нужно научиться вычислять01:44:55
кривизну вот сейчас мы получим формулу01:44:57
для кривизны и так чтобы это доказать01:45:00
строго нужна формула для кривизны01:45:03
мы рассмотрим два случая когда кривая01:45:06
заодно явным уравнением и когда кривая01:45:09
задано параметрически пусть кривая эль01:45:14
задана уравнением y равно f от x01:45:18
пусть кривая эль задана уравнением y01:45:23
равно f от x01:45:27
давайте нарисуем картинку оси x и y01:45:33
да ну и будем даже здесь считать нам01:45:37
понадобится вторая производная01:45:38
оказывается формулу для кривизны войдет01:45:41
вторая производная пусть функция f от x01:45:43
имеет дважды дифференцируема пусть01:45:45
функция f от x 2 rda дифференцируема ну01:45:48
вот какая-то кривая и01:45:50
и y равно f от x вот возьмем здесь точку01:45:54
м 0 м 0 с координатами x001:46:00
f от x 0 за направление касательной01:46:06
возьмем направлении при движенье ну на01:46:10
моем рисунке вверх вот направленной01:46:12
касательной в точке м 0 вот мы перешли в01:46:15
точку м 1 . m 1 это точка с координатами01:46:21
x f от x то есть . и моль фиксирована01:46:25
значит вот это вот у нас x 0 а вот это01:46:30
вот x1 ну и вот направленная касательная01:46:36
в точке м 1 и вот этот уголочек у нас то01:46:43
что мы обозначали дельта fi угол на01:46:45
которой повернулась направленной01:46:47
касательные когда мы с точки 0 перешли в01:46:49
точку им один теперь дальше угол между01:46:55
направленной касательной в точке м 1 с01:46:59
координатами произвольная x f от x01:47:02
обозначим через альфа альфа у нас01:47:07
меняется от минус п пополам до плюс и01:47:11
пополам для точки и мной обозначим01:47:18
естественно вот этот уголочек через01:47:20
альфа ноль01:47:23
пересом посмотрим на геометрическую01:47:26
картинку угол альфа это внешний угол01:47:30
треугольника у которого два угла не01:47:34
смежные с альфа равный альфа ноль и вот01:47:38
этот дельты fi01:47:40
значит отсюда мы получим что дельта fe01:47:43
ну на моем рисунке альфа больше альфа01:47:46
ноль но если я взял выпуклость другую01:47:49
сторону было бы наоборот поэтому delphi01:47:51
это модуль дельта альфа а под дельта01:47:56
альфа мы понимаем альфы минус альфа ноль01:48:00
делить яфета модуль дельта альфа таким01:48:06
образом средняя кривизна средняя01:48:10
кривизна участка кривой к м 0 м 1 это01:48:18
дельта фиг дельта эль так как мы01:48:21
определили среднюю кривизну в нашем01:48:23
случае это модуль01:48:25
дельта альфа ну бейт-эль всегда01:48:28
положительно но я для простоты запишу01:48:31
так модуль дельт alpha gt01:48:33
а кривизна в точке мной это предел при01:48:40
дельта h стремящемся к 0-лю01:48:43
ну вот модуля дельта альфа дельта и01:48:48
но этот предел по самому определению это01:48:51
есть ни что иное как модуль производной01:48:54
д альфа поди эй01:48:58
взятый в точке 0 то изъятые при x равном01:49:03
x0 так и напишем это модуль производное01:49:06
дольфа pdl при x равном x0 теперь дальше01:49:11
у нас тангенс альфа это тангенс угла01:49:14
наклона касательной это f штрих от x это01:49:19
мы хорошо знаем об этом много раз01:49:21
говорил в перу семестре01:49:23
значит альфа это арктангенс f штрих от x01:49:32
д альфа01:49:36
найдем дифференциал арктангенса f штрих01:49:39
от x d альфа это будет берем сначала01:49:44
производную арктангенса это сложная01:49:46
функция по всему аргументу01:49:47
в знаменателе будет единица плюс f штрих01:49:50
в квадрате от x что в числителе01:49:56
ну производная f штрих то есть f два01:49:59
штриха от xf-2 штрих от x и на что еще01:50:02
умножить на dx01:50:04
это дифференциал альфа теперь что такое01:50:08
д.л.01:50:09
будем отсчитывать длину дуги эль от01:50:12
точки м 0 естественно и тогда давайте01:50:16
вспомним что длина вещь это длина01:50:26
участка кривой м 0 м 101:50:31
это интеграл от x0 до x dx01:50:39
x0 это абсцисса точки 0x абсциссы . им01:50:42
один корень квадратный единицы + f штрих01:50:46
в квадрате давайте переменную01:50:48
интегрирование поскольку x у нас занят01:50:51
верхнем пределе обозначим буквы с f301:50:54
квадрате от ндс ну а тогда д.л.01:51:04
это есть производная на dx производная01:51:08
от этой функции это производной01:51:10
интеграла с переменным верхним пределом01:51:13
мы хорошо знаем что она равна01:51:14
подынтегральной функции взятый при01:51:17
верхнем пределе01:51:18
это корень из единица плюс f штрих в01:51:22
квадрате от x на dx и так мы вычислили01:51:28
до альфа как функцию x dx01:51:30
д-р как функции x dx ну и теперь поделив01:51:34
одно на другое мы получим01:51:41
значит кривизна в точке мной привязав01:51:48
точке м 0 к от м 0 равно еще раз я01:51:54
напомню модуль д альфа под эй при x01:51:59
равном x0 если мы до альфа поделим на01:52:03
дрель текстом сократится и положим x01:52:06
равным x0 то мы получим дробь в01:52:10
числителе модуль01:52:11
f два штриха в точке x 0 в знаменателе01:52:17
единица плюс f штрих в квадрате в точке01:52:21
x0 и все это в степени три вторых01:52:26
понятно корень вдм входят в d альфа01:52:32
входят единицы плюс четыре в квадрате и01:52:34
еще когда мы поделим на дуэль то01:52:37
получится вот так вот кривизна в точке01:52:43
мной еще раз напомню что01:52:46
м0 это точка с координатами x001:52:49
f от x 0 кривая заданной овнам01:52:53
уравнением вот так вычитается кривизна01:52:55
что же мы видим что кривизна тем больше01:52:58
чем больше вторая производная вот если01:53:03
если вторая производная f два штриха в01:53:09
точке x001:53:11
не равна нулю то кривизна в точке м 0 не01:53:19
равна нулю и в этом случае в этом случае01:53:24
давайте обозначим обозначим через р01:53:30
большое01:53:34
величину обратную кривизне ведем такую01:53:38
величину r большое равно единица наков .01:53:44
и многие а теперь введём такое понятие01:53:52
окружность окружность радиуса r большое01:53:59
окружность радиуса r большое касающиеся01:54:04
кривой и в точке м 0 вот в этой самой01:54:09
точке но окружность этого радиуса можно01:54:16
с одной стороны кривой пристроить и с01:54:18
другой сейчас мы продолжим фразу я01:54:20
сначала нарисую чтобы было понятно с01:54:23
какой стороны берется эта окружность вот01:54:26
оси x y01:54:28
вот наша кривая эй заданный уравнением y01:54:32
равно f от x01:54:34
вот здесь . я мной с координатами x0 x001:54:40
окружности радиуса r касающиеся кривой01:54:43
эль большое в точке 0 и имеющие в01:54:46
окрестности точки 0 такое же направление01:54:49
выпуклости как и кривая и имеющая в . и01:54:54
мной такое же направление выпуклости как01:54:58
и кривая01:54:59
но это значит эту окружить мы должны01:55:02
пристроить вот вот отсюда чтобы было01:55:06
такое же направление выпуклости вот01:55:09
где-то ее центр01:55:10
вот это ее радиус r и так окружность01:55:14
радиуса r большое касающаяся кредит в01:55:17
точке мной и имеющие в окрестности точки01:55:19
0 такое же например выпуске как и кривая01:55:22
называется как это ни странно01:55:24
кругом кривизны кривой эльф . им 0 ну01:55:28
окружность называется кругом немножко01:55:30
такая ну как бы терминология окружность01:55:35
от не круг конечно тем не менее вот так01:55:36
принято говорить вот эта окружность01:55:38
называется кругом кривизны кривой или в01:55:41
точке м 0 а центр этой окружности и радиус01:55:44
называется центром ира01:55:46
у сам кривизны кривой в точке м 0 а01:55:50
центр и радиус этой окружности01:55:52
называется центром и радиусом кривизны01:55:55
это окружности в точке м ноги01:55:58
такая вам маленькая задачка рассмотрим01:56:02
кривую эль01:56:03
заданный уравнением y равно x квадрат01:56:08
парабола в качестве точки и мной возьмём01:56:13
начала координат 0001:56:21
ну вот можно нарисовать картинку оси x и01:56:27
y и вот наша парабола это окружность cos01:56:34
а вот . м0 начала координат это01:56:37
окружность как то вот так будет01:56:38
расположена задача вам такая написать01:56:43
уравнение этой окружности но для этого01:56:46
надо найти просто ее ради найти кривизну01:56:48
вот по этой формуле01:56:49
f два штриха и вторых это легко01:56:52
находится для функции x квадрат их надо01:56:56
положить равном нулю найдете кривизну в01:56:58
точке м 0 р это единицы на кривизну ясно01:57:02
в силу симметрии что центра кружись и01:57:04
лежит на оси y01:57:06
ну и тогда легко напишите уравнение эта01:57:10
кривизна кривой в случае когда кривая01:57:13
задано явным уравнением ну уж совсем без01:57:19
лишних пояснений пусть теперь кривая01:57:22
эльза дано параметрически x равно feat t01:57:27
y равно psy а ты тогда д.л.01:57:35
это давайте вспомним выражение для длины01:57:38
дуги кривой задние параметрически01:57:41
подынтегральное выражение это и есть д и01:57:44
это корень из fish 3 х в квадрате от t +01:57:49
psy штрих в квадрате at&t01:57:53
на dt тангенс альфа f штрих от x a f01:58:00
штрих от x для кривой заданной01:58:02
параметрически это psy штрих от t01:58:04
поделить на fish 3-х т альфа это будет01:58:10
арктангенс этой дроби арктангенс psy в01:58:14
3-х т на фильтре хоть и значат для альфа01:58:20
это будет ну если вы про дифференцирует01:58:23
и вот этот арктангенс то получится вот01:58:26
что я напишу сразу в знаменателе будет01:58:29
сумма квадратов и в 3 х в квадрате от t01:58:33
плюс historic квадрате плюс psy штрих в01:58:36
квадрате а т а в числителе будет psy 201:58:39
штрих от t на fish 3-х т минус01:58:44
phi2 штрих от t на psy штрих от t и на01:58:50
dt и на dt01:58:53
ну и поэтому кривизна если мы возьмем01:58:57
точку и мной если у возьмем в точку м 001:59:05
на кривой01:59:08
с координатами feat t 0 seat t0 до01:59:15
конкретного значения t равного t001:59:17
то кривизна кривой в точке м 0 это01:59:26
модуль д альфа по д.л.01:59:29
при t равном t0 если мы поделим д альфа01:59:36
на дрель и положим t равном t0 то01:59:38
получится дробь в числителе модуль psy01:59:43
два штриха фев 301:59:45
минус phi2 штрих обсе в 3 ну разумеется01:59:49
это берется при t равном t0 а в01:59:52
знаменателе01:59:53
fish 3х в квадрате плюс psy штрих в01:59:57
квадрате в степени три вторых и все это02:00:02
надо взять при t равном ты 0 вот02:00:06
кривизна кривой заодно и параметрически02:00:08
ну пользуясь этой формулой и02:00:13
параметрическими уравнениями того самого02:00:15
эллипса вот если вернуться теперь к02:00:16
примеру с эллипсом где мы поставили02:00:19
задачу как доказать что кривизна в точке02:00:21
м 1 больше чем в точке м 202:00:24
значит параметрическое уравнение эллипса02:00:26
x равно а косинус т02:00:31
y равно бы синус т . м102:00:39
вот эта . какому значению т02:00:42
соответствует ты равному нулю да м 1 это02:00:47
3 равно нулю . м202:00:50
вот эта вершинка или все лежащие на оси02:00:53
y соответствует какому-то пи пополам02:01:01
посчитайте вот по этой формуле за счет02:01:05
функции фи у нас а косинус 3 функции psy02:01:07
бассейну 100 посчитайте по этой формуле02:01:10
кривизну ну и докажите тем самым штука в02:01:14
. м1 больше чем к02:01:16
в точке м 2 ну вот дорогие друзья мы02:01:21
вторую часть нашего 3 7 2 курса анализа02:01:25
завершилиОписание:
1. Формула Стокса 2. Независимость криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования в пространстве 3. Геометрические приложения дифференциального исчисления. 3.1. Касание кривых 4. Огибающая однопараметрического семейства кривых. 4.1. Особые точки кривых 5. Кривизна плоской кривой
Готовим варианты загрузки
* — Если видео проигрывается в новой вкладке, перейдите в неё, а затем кликните по видео правой кнопкой мыши и выберите пункт "Сохранить видео как..."
** — Ссылка предназначенная для онлайн воспроизведения в специализированных плеерах
Вопросы о скачивании видео
Как можно скачать видео "Бутузов В. Ф. - Математический анализ - Геометрические приложения (Лекция 21)"?
Сайт http://unidownloader.com/ — лучший способ скачать видео или отдельно аудиодорожку, если хочется обойтись без установки программ и расширений. Расширение UDL Helper — удобная кнопка, которая органично встраивается на сайты YouTube, Instagram и OK.ru для быстрого скачивания контента.
Программа UDL Client (для Windows) — самое мощное решение, поддерживающее более 900 сайтов, социальных сетей и видеохостингов, а также любое качество видео, которое доступно в источнике.
UDL Lite — представляет собой удобный доступ к сайту с мобильного устройства. С его помощью вы можете легко скачивать видео прямо на смартфон.
Какой формат видео "Бутузов В. Ф. - Математический анализ - Геометрические приложения (Лекция 21)" выбрать?
Наилучшее качество имеют форматы FullHD (1080p), 2K (1440p), 4K (2160p) и 8K (4320p). Чем больше разрешение вашего экрана, тем выше должно быть качество видео. Однако следует учесть и другие факторы: скорость скачивания, количество свободного места, а также производительность устройства при воспроизведении.
Почему компьютер зависает при загрузке видео "Бутузов В. Ф. - Математический анализ - Геометрические приложения (Лекция 21)"?
Полностью зависать браузер/компьютер не должен! Если это произошло, просьба сообщить об этом, указав ссылку на видео. Иногда видео нельзя скачать напрямую в подходящем формате, поэтому мы добавили возможность конвертации файла в нужный формат. В отдельных случаях этот процесс может активно использовать ресурсы компьютера.
Как скачать видео "Бутузов В. Ф. - Математический анализ - Геометрические приложения (Лекция 21)" на телефон?
Вы можете скачать видео на свой смартфон с помощью сайта или pwa-приложения UDL Lite. Также есть возможность отправить ссылку на скачивание через QR-код с помощью расширения UDL Helper.
Как скачать аудиодорожку (музыку) в MP3 "Бутузов В. Ф. - Математический анализ - Геометрические приложения (Лекция 21)"?
Самый удобный способ — воспользоваться программой UDL Client, которая поддерживает конвертацию видео в формат MP3. В некоторых случаях MP3 можно скачать и через расширение UDL Helper.
Как сохранить кадр из видео "Бутузов В. Ф. - Математический анализ - Геометрические приложения (Лекция 21)"?
Эта функция доступна в расширении UDL Helper. Убедитесь, что в настройках отмечен пункт «Отображать кнопку сохранения скриншота из видео». В правом нижнем углу плеера левее иконки «Настройки» должна появиться иконка камеры, по нажатию на которую текущий кадр из видео будет сохранён на ваш компьютер в формате JPEG.
Сколько это всё стоит?
Нисколько. Наши сервисы абсолютно бесплатны для всех пользователей. Здесь нет PRO подписок, нет ограничений на количество или максимальную длину скачиваемого видео.