Скачать "#205. Формула Эйлера для плоских графов: В-Р+Г=2 | Платоновы тела (feat. Борис Трушин)"

Обложка аудиозаписи

Подождите немного, мы готовим ссылки для удобного просмотра видео без рекламы и его скачивания.

Предыдущее видео: 11-класс | Биология | Приспособленность организмов к условиям внешней среды Следующее видео: #140. HOW TO EXTRACT SQUARE ROOTS BY HAND?

0:00

Исторические сведения

1:32

ГЛАВНАЯ задача

2:02

Борис Трушин доказывает формулу Эйлера

8:51

Отсеиваем невозможные многогранники

10:12

Определяем все характеристики платоновых тел!

15:33

Три загадки!

#140. HOW TO EXTRACT SQUARE ROOTS BY HAND?

#140. HOW TO EXTRACT SQUARE ROOTS BY HAND?

Канал: Wild Mathing

11-класс | Биология | Приспособленность организмов к условиям внешней среды

11-класс | Биология | Приспособленность организмов к условиям внешней среды

Канал: Санарип Сабак - образовательные ресурсы Кыргызстана

#200. ЗАЧЕМ НУЖНА МАТЕМАТИКА?

#200. ЗАЧЕМ НУЖНА МАТЕМАТИКА?

Канал: Wild Mathing

САМЫЕ ВАЖНЫЕ ИДЕИ МАТЕМАТИКИ | КОВЧЕГ ИДЕЙ

САМЫЕ ВАЖНЫЕ ИДЕИ МАТЕМАТИКИ | КОВЧЕГ ИДЕЙ

Канал: SciOne

Пропаганда вместо истории: как в России меняют образование | Крым, СССР, Киевская Русь и ЕГЭ

Пропаганда вместо истории: как в России меняют образование | Крым, СССР, Киевская Русь и ЕГЭ

Канал: varlamov

Английский язык 6 класс: Present Simple + Adverbs of frequency

Английский язык 6 класс: Present Simple + Adverbs of frequency

Канал: OnliSkill - видеоуроки с 5 по 11 класс

Гражданская идентичность и формирующие её факторы

Гражданская идентичность и формирующие её факторы

Канал: Видео-портал для учителя

ГРАЖДАНСКАЯ ИДЕНТИЧНОСТЬ

ГРАЖДАНСКАЯ ИДЕНТИЧНОСТЬ

Канал: Видео-портал для учителя

Математическая индукция. Высшая математика. Олимпиады

Математическая индукция. Высшая математика. Олимпиады

Канал: Школково ЕГЭ, ОГЭ, олимпиады

12-ти ЧАСОВОЙ СТРИМ ПО №16 из ЕГЭ по математике

12-ти ЧАСОВОЙ СТРИМ ПО №16 из ЕГЭ по математике

Канал: Школково ЕГЭ, ОГЭ, олимпиады

Математика

Наука

Научпоп

Борис Трушин

Школа

Wild Mathing

Древняя Греция

Античность

Решение

Пространство

Геометрия

Теория графов

Формула эйлера

Плоскиий граф

Вершина

Ребро

Граф

Математика мироздания

Платон

Евклид

Демокрит

Тетраэдр

Гексаэдр

Октаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

ЕГЭ

Савватеев

Новый год

Артур Шарифов

Дмитрий Побединский

Фоксфорд

Эйлер

Кеплер

Правильные многогранники

Платоновы тела

Занимательная математика

Задача

Головоломка

Образование

Обучение

Стереометрия

Формула

математика

образование

научпоп

00:00:00

Дерево — это связный граф без циклов. Сделаем с ним

00:00:04

следующее: вырежем, растянем, прилепим. Математично?

00:00:06

Привет, диким математикам! Привет, друзья! Интересная

00:00:08

история ждет вас сейчас, даже две, и одна интересней

00:00:12

другой. Начнем издалека. Вы в курсе, что знаменитые

00:00:15

«Начала» Евклида в оригинале называются вот так Στοιχεῖα,

00:00:17

и буквально это означает «Стихии»: с чего бы вдруг?

00:00:21

Во всяком случае вы, наверное, знаете, что в своих трудах,

00:00:24

в заключительных главах, отец геометрии описывает

00:00:27

правильные многогранники. Эти симметричные, идеальные

00:00:30

выпуклые фигуры в свое время производят большое

00:00:32

впечатление на Пифагорейцев, а Платона они поражают

00:00:36

так, что он ставит их в основу своей системы мироздания.

00:00:39

В диалоге «Тимей» мы видим ассоциации куба с землей,

00:00:42

тетраэдра с огнем, октаэдра с воздухом, икосаэдра с

00:00:45

водой. Устами вымышленного персонажа (Тимея) Платон

00:00:48

говорит: «в запасе оставалось еще пятое многогранное

00:00:53

построение, его бог определил для Вселенной и прибегнул

00:00:55

к нему в качестве образца». И хотя сейчас мы понимаем,

00:00:58

что такая модель почти мифологическая; понимаем,

00:01:01

что к истине гораздо ближе был Демокрит, нельзя отрицать,

00:01:05

что идея своего рода геометричности Вселенной оказалась по

00:01:07

меньше мере дальновидной. По современным научным

00:01:10

знаниям Платон совершенно верно предположил, что

00:01:13

в основе описания природы должна лежать симметрия.

00:01:17

Давайте же сделаем первый шаг к пониманию гармонии

00:01:19

нашего мира, и вслед за Платоном узнаем, как устроены

00:01:23

правильные многогранники в трехмерном пространстве,

00:01:26

сколько их и почему — все это сегодня предстоит открыть,

00:01:30

то есть доказать! На самом деле это не очень простая

00:01:33

задача — предъявить объекты, удовлетворяющему вот такому

00:01:37

определению, да еще убедить, что никаких других при

00:01:39

всем полете фантазии быть не может. Но мы с вами справимся,

00:01:43

не так ли? Я возьму на себя арифметику и чуть-чуть

00:01:46

комбинаторики. От вас потребуется нешуточная помощь в геометрии,

00:01:51

не подведите. А раздобыть важнейший результат по

00:01:54

теории графов согласился собственной персоной Борис

00:01:57

Трушин. Навострите уши, это очень важно. Поехали!

00:02:02

Привет, диким математикам! Сегодня мы поговорим про

00:02:05

многогранники, но начнем издалека — начнем с графов.

00:02:09

Что такое граф? Граф — это просто некоторый конечный

00:02:13

набор точек на плоскости, некоторые из которых соединены

00:02:19

линиями. Эти точки мы будем называть вершинами графа,

00:02:24

а линии называть ребрами графа. Вот то, что нарисовано,

00:02:27

это частный случай графа. Давайте дадим парочку важных

00:02:30

определений. Граф называется связным, если, выйдя из

00:02:34

какой-нибудь вершины, можно, гуляя по ребрам, дойти до

00:02:38

любой другой. Вот то, что нарисовано — это несвязный

00:02:41

граф, потому что отсюда сюда не дойдешь, например,

00:02:44

да? Но если соединить еще вот так, то это уже связный

00:02:48

граф. Из любой вершины можно добраться до любой другой,

00:02:51

гуляя по ребрам. Вот. И второе важное определение — это

00:02:55

цикл. Мы будем говорить, что в графе есть цикл, если,

00:02:57

выйдя из какой-нибудь вершины, можно, гуляя по ребрам,

00:03:00

вернуться в нее же. Вот тут такой цикл есть, такой

00:03:05

цикл есть, еще вот такой вот цикл есть и даже вот

00:03:09

такой цикл есть, да? Много циклов на этой картинке.

00:03:13

Цикл — выйдя из вершинки, гуляя по ребрам, возвращаемся

00:03:17

обратно — это цикл. Так вот важный частный случай

00:03:21

графов — это связный граф без циклов, он выглядит

00:03:24

как-то вот так, вот (связный граф без циклов), и из-за

00:03:29

того, что он выглядит как-то вот так, он называется деревом.

00:03:32

То есть дерево — это связный граф без циклов. Вот. Докажем

00:03:36

одну важную характеристику для дерева. Смотрите, поймем

00:03:41

следующее, что дерево устроено так, что у него всегда есть

00:03:45

вот такие вот висячие вершины, то есть вершины, из которых

00:03:49

выходит ровно одно ребро. Это довольно легко доказать,

00:03:52

смотрите. Возьмем любую вершину дерева и начнем,

00:03:57

выходя из нее, гулять по ребрам. Мы знаем, что у нас

00:04:00

нет циклов, поэтому при этой прогулке мы никогда

00:04:03

не попадем в ту вершину, в которой уже были раньше.

00:04:06

А количество вершин конечно, поэтому мы не можем гулять

00:04:09

бесконечно долго. Значит, в некоторый момент наш

00:04:12

путь оборвется. Мы придем куда-то, откуда нельзя будет

00:04:15

никуда дальше идти, а значит, это и есть висячая вершина.

00:04:19

Вот. У дерева точно есть висячая вершина. Давайте

00:04:22

сделаем следующее. Давайте выкинем вершину вместе

00:04:25

с ребром. То, что осталось — это снова дерево, так?

00:04:29

Возьмем еще одну висячую вершину — выкинем ее вместе

00:04:32

с ребром. Возьмем еще одну вершину — выкинем ее вместе

00:04:35

с ребром. И так далее. И выкидывая так парочками

00:04:40

вершина—ребро, вершина—ребро, вершина—ребро в конце

00:04:43

концов мы все изничтожим и останемся с одной вершиной,

00:04:49

да? Перед этим была вот такая картинка, мы изничтожили

00:04:54

— осталась одна вершина. А значит, для дерева мы

00:04:58

доказали следующий важный факт, что количество вершин

00:05:02

на единичку больше, чем количество ребер. Потому

00:05:06

что мы убирали вершина—ребро, вершина—ребро, вершина—ребро,

00:05:09

и в конце осталась одна вершина. Значит, вершин

00:05:11

на одну больше, чем ребер, так?

00:05:14

Рассмотрим еще один важный частный случай графа — это

00:05:16

плоский граф. Плоским называется граф, который изображен

00:05:18

на плоскости и при этом ребра у него не пересекаются.

00:05:21

Ну и рассматривать будем пока только связные плоские

00:05:24

графы, да. Давайте кое-что про него поймем. Что у плоского

00:05:28

графа к характеристикам в виде количества ребер

00:05:33

и количества вершин добавляется еще одна характеристика.

00:05:36

Смотрите, плоский граф разбивает плоскость на

00:05:39

несколько частей. Ну в нашем случае — сколько частей?

00:05:43

Один, два, три, четыре, вот тут вот пять и все оставшееся

00:05:47

— шесть частей. Вот количество этих частей мы будем называть

00:05:50

количество граней, а каждую из этих частей мы будем

00:05:53

называть гранью. Поэтому у нас есть три характеристики:

00:05:55

вершины, ребра, грани. Давайте поймем, как они связаны

00:06:00

у любого связного плоского графа. Смотрите: будем делать

00:06:04

что-то очень похожее с тем, что мы делали с деревьями.

00:06:07

Если граней больше, чем одна, то значит есть какие-то

00:06:11

две соседние грани, ну вот, например, вот эти две, которые

00:06:14

разделены ребром. Если мы удалим ребро, то что

00:06:19

изменится? Ну, связность, понятно не изменится. Изменится

00:06:23

количество ребер — станет на одно меньше и количество

00:06:26

граней станет на одну меньше, потому что эти две грани

00:06:30

сольются в одну. Поэтому количество вершин не изменилось,

00:06:35

ребер уменьшилось на 1, граней уменьшилось на 1.

00:06:38

Потом смотрим следующие две соседние грани, выкидываем

00:06:42

это ребро, и у нас количество вершин не изменилось, ребер

00:06:46

уменьшилось на один, граней уменьшилось на один. И так

00:06:51

далее. И давайте вот пока вот граней больше, чем одна,

00:06:56

можно выкидывать ребра так, чтобы количество граней

00:06:58

уменьшалось. Поэтому, продолжая этот процесс, мы дойдем

00:07:03

до случая, когда грань только одна. А значит, сколько

00:07:06

раз мы сделали этот шаг: граней было Г, осталось

00:07:10

1, значит, мы сделали (Г-1) шаг. И количество ребер

00:07:13

теперь Р-(Г-1), а количество вершин как было, так и осталось.

00:07:19

Давайте поймем, что у нас получилось. У нас получился

00:07:22

связный граф, в котором нет циклов: потому что если

00:07:26

есть цикл, то есть еще одна грань. Связный граф без

00:07:30

циклов — это дерево! А для дерева мы доказали, что

00:07:33

количество вершин отличается от количества ребер на

00:07:36

один. Количество вершин равно количеству ребер

00:07:40

(а теперь у нас ребер вот столько) плюс один. Немножко

00:07:46

преобразовав это равенство, получаем, что В-Р+Г=2. Мы

00:07:56

с вами доказали формулу Эйлера для связных плоских

00:08:02

графов. Какой бы ни был у вас связный плоский граф,

00:08:06

количество вершин минус количество ребер плюс количество

00:08:09

граней всегда равно двум. Борис, спасибо, мой вам

00:08:14

поклон за максимально понятные рассуждения! Сейчас можно

00:08:18

смело двигаться в сторону правильных многогранников.

00:08:21

Тем самым телам, с помощью которых в свое время Кеплер

00:08:24

достаточно удачно описал движение планет, только

00:08:26

планет тогда было известно меньше нашего. Итак, по

00:08:30

определению в каждой вершине правильного многогранника

00:08:33

сходится равное число ребер, а гранями служат правильные

00:08:37

и равные между собой многоугольники. Наша цель найти и описать

00:08:41

все-все подходящие объекты. Хм-м, слишком большой простор,

00:08:46

надо бы как-то убрать заведомо невозможные конструкции,

00:08:49

и вот тут ваш черед, друзья. Ходят слухи, что в каждой

00:08:53

вершине платоновых тел может сходиться не более

00:08:56

5 ребер: подумайте, и ваши доказательства этого факта

00:09:00

изложите в комментариях, у меня есть лишь небольшая

00:09:04

подсказка, и она сейчас перед вами. Вторая загадка!

00:09:07

Старинные предания гласят: грань правильного многогранника

00:09:11

не может иметь более 5 сторон, то есть пятиугольные грани

00:09:14

— возможны, а вот шестиугольные уже нет, и тут вновь вся

00:09:18

надежда на вас, на ваши ментальные способности,

00:09:22

тем временем подсказка на экране. Жду вас в комментариях!

00:09:26

Ну а сейчас давайте на чистоту. Если грани нашего заветного

00:09:29

многогранника треугольные, то количество ребер, исходящих

00:09:32

из одной вершины равно 3, 4 или 5. Если грани квадратные,

00:09:37

то на самом деле из вершины может исходить только три

00:09:40

ребра, если пятиугольные — тоже только три, задумайтесь

00:09:43

над этим. И тогда станет ясно, что в трехмерном пространстве

00:09:47

имеется не более 5 правильных многогранников с точностью

00:09:50

до подобия. Забавно, но можно было бы сейчас закончить

00:09:53

сюжет: доказать, что все пять существуют, просто

00:09:56

предъявив пример — этакое построение. Но неужели

00:09:59

первооткрыватели платоновых тел наобум склеивали пятиугольники

00:10:03

в надежде построить интересующий объект? Может быть, им их

00:10:06

подарил Зевс или на худой конец выковал Гефест? Ну

00:10:09

уж нет, мы не за этим здесь собрались! Давайте смело

00:10:13

поставим вопрос: сколько у того или иного правильного

00:10:15

многогранника будет граней, сколько ребер, сколько

00:10:19

вершин? Думаю, если мы объединим все наши усилия, то удастся

00:10:22

найти ответ, и тогда появление подтверждающих примеров

00:10:26

не будет выглядеть случайным. Еще раз вернемся к результату

00:10:29

Эйлера-Трушина и поймем, как теория графов помогает

00:10:32

стереометрии.

00:10:34

Смотрите. Представьте себе выпуклый многогранник,

00:10:37

и пусть он сделан из какого-нибудь эластичного материала.

00:10:40

Сделаем с ним следующее: вырежем одну из граней

00:10:43

и через образовавшуюся дырку растянем этот многогранник

00:10:47

и прилепим на плоскость. Ну для кубика, например,

00:10:50

получится следующее: вот был у вас кубик, вы отрезали

00:10:54

одну из его граней и растянули, и у вас получилась вот такая

00:11:00

вот картинка. Что получилось? Получился плоский граф,

00:11:06

давайте поймем, что с ним произошло. Количество вершин

00:11:08

— не изменилось, количество вершин здесь и здесь одинаково.

00:11:12

Количество ребер тоже не изменилось. Вроде как изменилось

00:11:14

количество граней, потому что одну из граней мы отрезали,

00:11:18

но взамен отрезанной грани у нашего плоского графа

00:11:22

добавилась вот эта вот бо-о-ольшая внешняя грань.

00:11:26

А это значит, что здесь и здесь одинаковое количество

00:11:29

и вершин, и ребер, и граней. А значит, если мы знаем,

00:11:33

что для плоского графа верна формула Эйлера, значит,

00:11:36

она верна и для выпуклых многогранников! Красиво,

00:11:40

да? Доказав формулу Эйлера для плоских графов, мы забесплатно

00:11:43

получили ее для выпуклых многогранников. Ну, кому

00:11:48

эти вот рассуждения с растягиванием многогранника — это не

00:11:51

очень математично, можно сделать это более строго,

00:11:55

рассмотрев, то, что называется «центральная проекция»:

00:11:58

взять некоторую точку, сделать центральную проекцию

00:12:02

этой фигуры на плоскость, и получится плоский граф.

00:12:06

Но сейчас не будем загружаться этой серьезной математикой.

00:12:08

Все! Отлично! То есть для выпуклых

00:12:12

многогранников, в частности для правильных, Эйлерова

00:12:15

характеристика равна двум. Тогда, вооружайте свой

00:12:18

ум, сейчас мы пересчитаем все ребра этим злодеям

00:12:20

двумя способами. Для начала через количество вершин.

00:12:24

Пусть из каждой вершины у нас исходит k ребер. Тогда

00:12:27

сколько всего ребер у многогранника? Подумайте и дайте ответ!

00:12:31

k умножить на В, верно? Нет, конечно, поскольку каждое

00:12:34

ребро мы таким образом посчитали дважды, например

00:12:38

ребро AB мы учли как при рассмотрении вершины A,

00:12:41

так и при рассмотрении вершины B. Стало быть, количество

00:12:45

ребер равно k∙В/2. Теперь о связи ребер с гранями:

00:12:50

пусть каждая грань представляет собой правильный n-угольник,

00:12:53

n сторон у нее то бишь. Тогда сколько всего ребер у многогранника?

00:12:57

n умножить на Г, верно? Да нет же, ведь и тут каждое

00:13:01

ребро получается посчитанным дважды. Скажем, AB мы посчитали

00:13:05

и в этом пятиугольнике, и в этом. Так что что количество

00:13:08

ребер равно n∙Г/2. Выразим из полученных равенств

00:13:13

буковки В и Г — дело нехитрое, присмотритесь — и внедрим

00:13:16

результат в формулу Эйлера. Что получается? Получается

00:13:20

замечательное равенство, обе части которого так

00:13:23

и тянет разделить на 2Р. И остается кра-со-та! Из

00:13:28

этого тождества сразу видно, что 1/n+1/k должно быть больше

00:13:33

½, ведь левая часть должна быть положительной! Вот

00:13:36

и еще одна причина, по которой нет смысла рассматривать

00:13:39

квадратные грани (n=4) и, например, пять ребер, исходящих

00:13:43

из каждой вершины (k=5). Единственные возможные варианты, которые

00:13:47

мы запишем по-научному с помощью символов Шлефли

00:13:50

— (3;3), (4;3), (3,4), (5,3), (3,5). И-и-и сейчас мы легко можем осознать,

00:13:59

как устроены соответствующие многогранники. Берем n и

00:14:01

k по троечке подставляем в наше равенство и находим

00:14:05

количество ребер — 6 штук. Зная это, возвращаемся

00:14:08

к нашим формулам и определяем количество вершин — 4 штуки.

00:14:12

Определяем количество граней — тоже 4. По количеству

00:14:17

граней даем античное название: тетра — четыре, стало быть,

00:14:21

тетраэдр, ни в коем случае не четвертушка. Если n=4,

00:14:25

а k=3, получаем всем известный куб, он же гексаэдр. Аналогично

00:14:30

при n=3, k=4 нехитрые вычисления дают 12 ребер, 6 вершин и

00:14:36

8 граней. А как сказать восемь? А ну, октава, октет — назовем

00:14:41

октаэдр. Притом обратите внимание: у куба и октаэдра

00:14:45

одинаковое число ребер, количество вершин одного

00:14:48

совпадает с количеством граней другого. Отсюда

00:14:51

в свое время родилась гениальная идея построения. Берем

00:14:55

центры граней куба, соединяем их подобающим образом,

00:14:58

и легко показать, что все полученные ребра, грани,

00:15:01

плоские и двугранные углы у новой фигуры одинаковы.

00:15:04

Тем самым мы изобрели октаэдр. Для прочих пар (n;k) наши

00:15:08

уравнения в целых числах также имеют решения и дают

00:15:12

полный набор характеристик. И если построить додекаэдр,

00:15:16

то, соединяя его центры граней ребрами, мы в подарок

00:15:19

получаем икосаэдр. Такой вот дуализм! Ох, как же я

00:15:23

люблю правильные многогранники. Вот они слева направо: тетраэдр,

00:15:28

гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

00:15:31

Остается задать на последок три загадки для самых диких

00:15:36

математиков! Первая. О правильных многоугольниках мы все

00:15:40

хорошо знаем: их бесконечно много. Но сколько из них

00:15:44

имеют внутренний угол кратный 10°. Скажем, угол правильного

00:15:48

треугольника 60°, что делится на 10 — хорошо. У квадрата

00:15:53

прямой угол — тоже кратен десяти. Пятиугольник не

00:15:57

подойдет: у него углы по 108°. Так сколько же всего

00:16:01

подходящих многоугольников? Вторая загадка. Возвращаясь

00:16:04

к тому, с чего начинали, к симметрии. Возьмем всем

00:16:08

привычный куб, кубик, если угодно. Я вот знаю, что у

00:16:11

него есть ровно один центр симметрии: точка пересечения

00:16:14

диагоналей. А вот сколько у куба осей симметрии и

00:16:18

сколько плоскостей симметрии? Подумайте!

00:16:21

Третья загадка. При переходе от многогранников к плоским

00:16:25

графам Борис Трушин говорил о выпуклых многогранниках.

00:16:28

Но почему только о них? Нельзя ли те же самые рассуждения

00:16:31

применить для невыпуклых многогранников? Будет ли

00:16:34

верна наша формула Эйлера ? Подключите фантазию и

00:16:37

геометрию. Жду ваших ответов в комментариях. Мыслите

00:16:41

критически, занимайтесь математикой, счастливо!

Описание:

Это видео о теории графов, о правильных многогранниках и метких античных идеях о том, что природа любит симметрию! Канал Бориса Трушина: https://www.youtube.com/user/trushinbv — подписывайтесь и на него, и на Wild Mathing — будет вам математическое счастье круглый год! ЗАДАЧНИК КО ВСЕМ РОЛИКАМ: https://vk.com/topic-135395111_35874038 МОИ КУРСЫ: https://vk.com/market-135395111 ПОДДЕРЖАТЬ ПРОЕКТ: https://www.donationalerts.com/r/wildmathing VK: https://vk.com/wildmathing 0:00 — Исторические сведения 1:32 — ГЛАВНАЯ задача 2:02 — Борис Трушин доказывает формулу Эйлера 8:51 — Отсеиваем невозможные многогранники 10:12 — Определяем все характеристики платоновых тел! 15:33 — Три загадки! В этом ролике по следам великих умов прошлого доказываем формулу Эйлера для связных плоских графов, объясняем, почему она применима для выпуклых многогранников. Затем, опираясь на связь вершин, ребер и граней многогранников, доказываем существование ровно пяти правильных многогранников в трехмерном пространстве. При таком подходе и внимательном изучении комбинаторных свойств примеры октаэдра, додекаэдра и икосаэдра не кажутся спущенными с небес: дуализм платоновых тел делает свое дело! Наслаждайтесь! БОЛЬШЕ ИНТЕРЕСНОЙ МАТЕМАТИКИ 1. Постижение числа π (feat. Алексей Савватеев): https://www.youtube.com/watch?v=c1AuZAvPs_s 2. Зачем нужна математика: https://www.youtube.com/watch?v=GqZ3ZoVWI7g 3. Самая красивая формула в математике: https://www.youtube.com/watch?v=Rgdc6_AmDzg 4. Гипотеза Римана: https://www.youtube.com/watch?v=KfKcWAnsG_s 5. Как извлекать корни в столбик: https://www.youtube.com/watch?v=2cn0Jy5uRQ0 6. Логарифмическая линейка: https://www.youtube.com/watch?v=8MtMZv6Uluc

Готовим варианты загрузки

Популярные

HD видео

Только звук

Все форматы

* — Если видео проигрывается в новой вкладке, перейдите в неё, а затем кликните по видео правой кнопкой мыши и выберите пункт "Сохранить видео как..."

** — Ссылка предназначенная для онлайн воспроизведения в специализированных плеерах

Вопросы о скачивании видео

Как можно скачать видео "#205. Формула Эйлера для плоских графов: В-Р+Г=2 | Платоновы тела (feat. Борис Трушин)"?

Сайт http://unidownloader.com/ — лучший способ скачать видео или отдельно аудиодорожку, если хочется обойтись без установки программ и расширений. Расширение UDL Helper — удобная кнопка, которая органично встраивается на сайты YouTube, Instagram и OK.ru для быстрого скачивания контента.
Программа UDL Client (для Windows) — самое мощное решение, поддерживающее более 900 сайтов, социальных сетей и видеохостингов, а также любое качество видео, которое доступно в источнике.
UDL Lite — представляет собой удобный доступ к сайту с мобильного устройства. С его помощью вы можете легко скачивать видео прямо на смартфон.

Какой формат видео "#205. Формула Эйлера для плоских графов: В-Р+Г=2 | Платоновы тела (feat. Борис Трушин)" выбрать?

Наилучшее качество имеют форматы FullHD (1080p), 2K (1440p), 4K (2160p) и 8K (4320p). Чем больше разрешение вашего экрана, тем выше должно быть качество видео. Однако следует учесть и другие факторы: скорость скачивания, количество свободного места, а также производительность устройства при воспроизведении.

Почему компьютер зависает при загрузке видео "#205. Формула Эйлера для плоских графов: В-Р+Г=2 | Платоновы тела (feat. Борис Трушин)"?

Полностью зависать браузер/компьютер не должен! Если это произошло, просьба сообщить об этом, указав ссылку на видео. Иногда видео нельзя скачать напрямую в подходящем формате, поэтому мы добавили возможность конвертации файла в нужный формат. В отдельных случаях этот процесс может активно использовать ресурсы компьютера.

Как скачать видео "#205. Формула Эйлера для плоских графов: В-Р+Г=2 | Платоновы тела (feat. Борис Трушин)" на телефон?

Вы можете скачать видео на свой смартфон с помощью сайта или pwa-приложения UDL Lite. Также есть возможность отправить ссылку на скачивание через QR-код с помощью расширения UDL Helper.

Как скачать аудиодорожку (музыку) в MP3 "#205. Формула Эйлера для плоских графов: В-Р+Г=2 | Платоновы тела (feat. Борис Трушин)"?

Самый удобный способ — воспользоваться программой UDL Client, которая поддерживает конвертацию видео в формат MP3. В некоторых случаях MP3 можно скачать и через расширение UDL Helper.

Как сохранить кадр из видео "#205. Формула Эйлера для плоских графов: В-Р+Г=2 | Платоновы тела (feat. Борис Трушин)"?

Эта функция доступна в расширении UDL Helper. Убедитесь, что в настройках отмечен пункт «Отображать кнопку сохранения скриншота из видео». В правом нижнем углу плеера левее иконки «Настройки» должна появиться иконка камеры, по нажатию на которую текущий кадр из видео будет сохранён на ваш компьютер в формате JPEG.

Сколько это всё стоит?

Нисколько. Наши сервисы абсолютно бесплатны для всех пользователей. Здесь нет PRO подписок, нет ограничений на количество или максимальную длину скачиваемого видео.