Скачать "Косухин О.Н. - Математический анализ. Часть 2. Семинары -2.Неопределенный интеграл:замена переменной"

Обложка аудиозаписи

Подождите немного, мы готовим ссылки для удобного просмотра видео без рекламы и его скачивания.

Предыдущее видео: Full Finite Element Solver in 100 Lines of Python Следующее видео: Самый лучший способ подключения унитаза | После этого он никогда не забьётся | Будни Сантехника

0:19

Повторение прошлого семинара

1:25

Замена переменной в неопределенном интеграле

6:04

Зачем мы пишем dx при интегрировании?

8:08

Задача №1674

12:46

Задача №1680

16:34

Задача №1697

18:47

Задача №1766

22:35

Задача №1776

26:21

Задача №1778: тригонометрические замены

32:02

Немного о замене корня в интеграле

33:20

Задача №1784: тригонометрические замены

40:58

Задача №1786: гиперболические замены

48:28

Интегрирование по частям

51:39

Задача №1791

53:52

Интегрирование по частям: замечание

55:28

Задача №1796

59:52

Задача №1828

1:10:00

Домашнее задание

Самый лучший способ подключения унитаза | После этого он никогда не забьётся | Будни Сантехника

Самый лучший способ подключения унитаза | После этого он никогда не забьётся | Будни Сантехника

Канал: Домашний Мастер

Full Finite Element Solver in 100 Lines of Python

Full Finite Element Solver in 100 Lines of Python

Канал: PolymerFEM

Тайны Чапман — Когти в сторону (08.06.2022)

Тайны Чапман — Когти в сторону (08.06.2022)

Канал: Alt Vision

Toyoda Model G Auto Shuttle Change

Toyoda Model G Auto Shuttle Change

Канал: AllAboutLean.com

Тостер ремонт и устройство

Тостер ремонт и устройство

Канал: oleg pl

It's a Normal Smartwatch Until...

It's a Normal Smartwatch Until...

Канал: Marques Brownlee

Симулятор проекта в PRO-Logic master

Симулятор проекта в PRO-Logic master

Канал: Электроунивер EKF

Вездеходы ЛЕСНИК Турист и Север Презентация от Андрея Иванова на выставке "Вездеходер Поехали 2021"

Вездеходы ЛЕСНИК Турист и Север Презентация от Андрея Иванова на выставке "Вездеходер Поехали 2021"

Канал: Жизнь в России. Наше время.

КАКИЕ ВИДЕОКАРТЫ NVIDIA МОЖНО ЗАВЕСТИ В MACOS 12 MONTEREY ?! ПОДРОБНАЯ ИНСТРУКЦИЯ ЗАВОДА! HACKINTOSH

КАКИЕ ВИДЕОКАРТЫ NVIDIA МОЖНО ЗАВЕСТИ В MACOS 12 MONTEREY ?! ПОДРОБНАЯ ИНСТРУКЦИЯ ЗАВОДА! HACKINTOSH

Канал: ALEXEY BORONENKOV

Устройства регулирования напряжения трансформатора под нагрузкой РПН СМ и СМ2

Устройства регулирования напряжения трансформатора под нагрузкой РПН СМ и СМ2

Канал: Компания Лидер-Энерго

косухин

о.н

математический

анализ

часть

семинары

-.неопределенный

интеграл:замена

переменной

00:00:04

[музыка]

00:00:19

так значит давайте краткое содержание

00:00:21

предыдущих серий за что что мы с вами

00:00:23

обсудили мы обсудили с вами основную вот

00:00:25

эту таблицу демидович она называется

00:00:28

таблица простейших интегралов хотя надо

00:00:30

сказать что не все из них простейший то

00:00:32

есть есть и довольно сложные интегралы

00:00:34

как например да вот обратные

00:00:37

гиперболические функции авиа синус и

00:00:40

косинус

00:00:41

area тангенс да вот которой она дам вам

00:00:44

за да они в принципе достаточно

00:00:46

содержательно

00:00:48

так и обсудили мы с вами некоторые

00:00:52

простейшие методы вот то что в

00:00:53

димитрович называется метод разложения

00:00:55

это по сути работа с линейными

00:00:57

комбинациями и самую простенькую замену

00:01:00

мы с вами обсудили это когда внутри

00:01:02

функция подставляется

00:01:04

линейная ну и дальше значит считается

00:01:07

так давайте мы сейчас с вами перейдем к

00:01:11

обсуждению двух основных методов как

00:01:14

сводится интегралы более сложные кант

00:01:17

игра вам более простым то есть на самом

00:01:19

деле есть два основных приема и мы

00:01:21

просто снимем будем работать на так

00:01:24

первый основной прием это замена

00:01:26

переменной значит и как у нас выглядит

00:01:30

соответствующая формула соответствующая

00:01:32

теорема

00:01:33

формула это происходит из-за теоремой о

00:01:36

производной сложной функции значит это

00:01:39

пусть у нас есть какая-то функция f от x

00:01:43

и

00:01:45

мы знаем что ее производная она равна на

00:01:49

промежутке на нашем и of маленькая как

00:01:52

тогда мы знаем что вместо икса можно

00:01:56

подставить внутрь другую функцию

00:01:58

например вот x равно ж у т вот x равно ж

00:02:02

у т и

00:02:04

производная сложной функции f от же вот

00:02:07

выражаются по формуле

00:02:10

f штрих от t умножить

00:02:14

на же штрих от t

00:02:16

ну во-первых мы знаем с вами что большой

00:02:19

штрих можно подменить просто наив и

00:02:22

тогда мы получаем что мы знаем с вами

00:02:26

первообразную для функций вот так f от

00:02:30

же от t умножить

00:02:32

на же штрих от t dt

00:02:36

вот так и оказывается что это

00:02:39

первообразная она равна большое от

00:02:42

живота

00:02:43

ну а все тогда первообразная еще

00:02:46

отличаются от нее на константу начну вот

00:02:48

какой если вы умеете считать

00:02:50

первообразную от функция f от x

00:02:53

dx то вы умеете считать и вот такую

00:02:58

первообразную тоже и схема почета

00:03:00

следующие сначала вы считаете вот этот

00:03:03

интеграл а потом в конце вы вместо икса

00:03:07

можете подставить живут ты то есть пишут

00:03:10

вот такое равенство до что один

00:03:13

неопределенный интеграл равен другому не

00:03:15

определенному интегралу а как понимается

00:03:17

это равенство равенство понимается

00:03:19

следующим образом что если вы напишете

00:03:21

здесь первообразную в большой attacks и

00:03:24

потом вместо икса подставите ж у т то вы

00:03:27

получите правильный ответ начнет

00:03:30

появляется такая формула для замены

00:03:32

переменной то есть это некоторый мост по

00:03:36

которому можно путешествовать между

00:03:37

разными интегралами то есть интеграл от

00:03:39

одной переменной x он вот в этом смысле

00:03:42

совпадает с интегралом от другой

00:03:44

переменной т

00:03:45

так

00:03:47

ну хорошо значит что здесь все-таки ну

00:03:51

что здесь все-таки у нас

00:03:54

нужно проверять да

00:03:56

так но вот за кадром остается до как

00:04:00

всегда промежуток на котором мы проводим

00:04:02

интегрирования то есть мы конечно с вами

00:04:04

подразумеваем что есть у нас какой-то

00:04:06

промежуток а.б. так вот в частности нам

00:04:09

нужно требовать чтобы ж у т она

00:04:12

принимала значения вот она должна

00:04:15

принимать значения

00:04:20

значение на этом промежутке

00:04:22

из ну из этого промежутка то если

00:04:25

правильно так сказать не на а из этого

00:04:27

промежутка то есть мы не можем вылезать

00:04:30

наружу

00:04:31

потому что у нас вот это вот функция

00:04:34

большой attacks мы не знаем что с ней

00:04:36

происходит за

00:04:37

а вот этим за пределами этого промежутка

00:04:40

так что x равно жертв обязательно тоже

00:04:44

должна принимать значения из вот этого

00:04:45

промежутка мы об этом вспомним когда

00:04:47

будем говорить об определенном интеграле

00:04:49

то есть в нашем сейчас задача как

00:04:51

правило это ограничение всплывать не

00:04:53

будет так значит вот частный случай этой

00:04:57

теорема мы на самом деле с вами обсудили

00:04:59

в прошлый раз вот если жил то это

00:05:01

линейная функция то вот мы с вами знаем

00:05:04

что такая формула есть то есть она у нас

00:05:07

была

00:05:08

f от а т + b умножить

00:05:12

на dt ну тоже у нас было равно f от от и

00:05:17

плюс b прошлый раз мы обсуждали эту

00:05:19

формулу и даже какие-то там задач когда

00:05:22

я вам оставил на дом на эту формулу вот

00:05:25

эта формула более общего значит

00:05:27

путешествовать по ней можно в две

00:05:28

стороны

00:05:29

либо можно сказать а вот если вы увидите

00:05:33

задачу как ребус такой да то есть вот

00:05:35

бывает задача как ребусы вам да ну вот

00:05:37

это выражение и нужно в нем увидеть

00:05:40

функцию жертв и же штрих от t тогда вы

00:05:42

можете и более сложное выражение

00:05:44

свернуть и получить выражение более

00:05:47

простое это один тип задач другой тип

00:05:50

задач можно еще назвать его подстановкой

00:05:52

это когда вы начинаете с более простого

00:05:54

вида вот такого да и сюда вы сможете

00:05:57

вставить тогда любую функцию ж у т

00:06:00

которая вам понравится так вот значит

00:06:04

может вот может возникнуть вопрос а

00:06:07

почему мы в обозначениях интеграла

00:06:09

используем вот этот самый dx почему бы

00:06:12

нам просто не писать например вот

00:06:13

интеграл f от x зачем пишется вот этот

00:06:16

dx в конце но как раз одно из объяснений

00:06:20

да вот можно несколько объяснений дать

00:06:22

этому факту одно из объяснений состоит в

00:06:24

том но она будет касаться определенного

00:06:26

интеграла что у нас там будет возникать

00:06:28

дельта x множитель но мы до этого

00:06:31

доберемся

00:06:32

а вот другое объяснение его можно дать

00:06:34

сейчас что если писать вот так то

00:06:38

формула замены переменной будет

00:06:40

выглядеть неестественно то есть вот

00:06:42

смотрите вот такая запись интеграл f от

00:06:44

x и вот интеграл от вот вот и да если мы

00:06:48

просто их заменим на животе либо у нас

00:06:51

получится неправильно и равенство то

00:06:53

есть мы не можем написать что это равно

00:06:54

вот этому либо нам нужно откуда-то

00:06:57

добавлять искусственный множитель вот а

00:06:59

также штрих от t и откуда он появляется

00:07:01

не понятно а вот если у нас здесь

00:07:04

написано dx

00:07:07

то равенство это выглядит вполне

00:07:09

естественно давайте я попробую вам

00:07:11

объяснить почему

00:07:13

потому что на самом деле если мы напишем

00:07:16

дифференциал функции же то как мы с вами

00:07:19

знаем дифференциала функции же это же

00:07:22

штрих от t умножить на dt и как раз мы

00:07:25

получаем правильную формулу то есть

00:07:27

получается что если приписывать вот этот

00:07:29

dx под знаком интеграла то при замене

00:07:32

переменной у нас получается вполне

00:07:35

естественно и равенство то и замены

00:07:37

переменной будет состоять просто в том

00:07:39

что взяли x и подменили его на функцию

00:07:42

желудка и так значит наша формула

00:07:45

интеграл на f от x dx

00:07:49

равен интегралу f вот же вот ты

00:07:53

ножи штрих от t dt

00:07:57

вот одна из двух основных форму как

00:08:00

считаются интеграла давайте посмотрим

00:08:03

как это работает например давайте мы

00:08:05

возьмем с вами

00:08:08

1674

00:08:09

задача 1674 в этой задаче нас просят

00:08:14

посчитать интеграл

00:08:16

x dx

00:08:19

поделить на корень из 1 минус x квадрат

00:08:21

вот эта запись она такая же как вот

00:08:24

такая x поделить на корень из 1 минус x

00:08:27

квадрат dx просто удобно воспринимать

00:08:30

вот этот dx как множитель на который все

00:08:33

умножается но когда он как множитель его

00:08:35

можно писать как множителю дроби а можно

00:08:38

писать как множитель в числителе дроби

00:08:41

то есть это в общем то же самое итак

00:08:44

значит просят нас посчитать вот этот

00:08:47

интеграл

00:08:48

один из методов которые помогает один из

00:08:52

методов которые помогают в решении задач

00:08:55

если вам что-то не нравится в интеграле

00:08:57

вы можете выбрать это в качестве новые

00:08:59

перемены вот давайте мы сейчас с вами

00:09:04

значит попробуем здесь сделать замены

00:09:07

переменной так чтобы то есть увидеть

00:09:10

давайте вот поменяю букву на т я вам

00:09:14

говорил в прошлый раз что мы можем

00:09:16

менять название у буква до скажем так

00:09:18

давайте вот просто пока сменим букву вот

00:09:21

там

00:09:22

чтобы у нас было вот как здесь и

00:09:25

теперь попытаемся с вами увидеть

00:09:28

формулу то есть увидеть вот такое вот

00:09:31

выражение то есть это как задачка ребус

00:09:34

я предлагаю в качестве же at&t

00:09:38

качестве же at&t

00:09:40

взять

00:09:42

вот такую функцию один минус t квадрат

00:09:45

отдавать мы возьмем один минус t квадрат

00:09:48

что тогда будет такое же штрих от t

00:09:53

это минус 2 т и у нас практически есть

00:09:58

все что нам нужно вот только у нас

00:10:01

вместо множителя минус 2 т который мы

00:10:03

хотим иметь здесь да у нас написан

00:10:06

множитель просто т давайте мы минус 2

00:10:08

это искусственно добавим мы то что

00:10:10

внутри интеграла умножим на минус 2 а

00:10:12

значит снаружи добавим множитель минус

00:10:14

одна вторая по свойству линейности да мы

00:10:17

можем так делать

00:10:20

то есть вот пока мы делаем такое

00:10:22

преобразование и вот если посмотреть

00:10:25

теперь это интеграл в таком виде то мы

00:10:27

можем увидеть что что у нас здесь

00:10:30

записано давайте перепишу минус одна

00:10:33

вторая интеграл

00:10:36

единица поделить на корень берется из

00:10:39

как раз наша функция живут и

00:10:41

умножается это все ножи штрих от t dt и

00:10:44

по формуле которая написана сверху мы

00:10:47

понимаем что если перейти к новой

00:10:49

переменной но давайте чтобы не путать с

00:10:52

предыдущей буква x например возьмем

00:10:54

переменную y мы можем сами выбирать

00:10:56

название для новых переменных например y

00:10:59

пусть у нас будет же otter мы получим

00:11:01

что это есть минус одна вторая

00:11:04

интеграл от единица поделить на корень

00:11:06

из y до y

00:11:09

то есть мы более сложное выражение

00:11:11

превратили более простое значит а теперь

00:11:14

вот этот интеграл уже табличный значит

00:11:17

что это такое получается это y в степени

00:11:20

минус 1 2

00:11:23

наш минус 1 2 у нас множитель был перед

00:11:26

интегралом здесь мы увеличиваем степень

00:11:28

на единичку то и становится y степени 1

00:11:31

2 и делим на эту самую одну вторую то

00:11:33

есть появляется множитель 2 ну и значит

00:11:37

плюс c можно писать плюс и здесь прямо в

00:11:39

скобочках а можно конечно писать его

00:11:41

снаружи то есть получается минус y в

00:11:43

степени 1 2 + c c это произвольная

00:11:46

константа поэтому я ее на одну вторую

00:11:48

минус одну вторую могу не умножать но и

00:11:51

в конце чтоб получить ответ на же

00:11:53

интересовал ответ в изначальной

00:11:55

переменные данному тут ею ты называл тут

00:11:57

ее называл x давайте мы вернемся то есть

00:12:00

мы вместо игрека подставим вот это вот

00:12:02

же ну давайте от x напишу то есть это

00:12:05

будет минус корень из 1 минус x квадрат

00:12:08

плюс c вот мы получили ответ то есть мы

00:12:12

стартовали с этого интеграла

00:12:14

потом замены переменной превратили его

00:12:17

вот в такой интеграл

00:12:19

вот тогда посчитали этот интеграл и в

00:12:23

конце мы вернулись к старые переменные

00:12:25

вот так устроена вычисления большинства

00:12:28

интегралов только обычно замену нужно

00:12:30

будет делать не одну а иногда может быть

00:12:33

там 5 замен до приходится делать для

00:12:36

того чтобы посчитать и

00:12:38

вычисление всяких преобразований сделать

00:12:40

побольше но в общем то схема вот

00:12:42

основная на этой задачей очень так

00:12:44

хорошо показано 1680 например задачу

00:12:49

в этой задаче нас просят посчитать

00:12:52

интеграл

00:12:53

dx

00:12:55

поделить на 1 плюс x корень из x

00:13:01

и более того нам дает демидович

00:13:04

подсказку что dx деленное на корень из x

00:13:07

и то есть два дифференциала от функции

00:13:12

корень из x

00:13:14

вот то есть подсказку нам дает такую что

00:13:17

нужно перейти к новой функции к новой

00:13:20

переменной y равна корень из x итак

00:13:24

давайте возьмем y равно корень из x

00:13:27

тогда что такое до y

00:13:31

вот дифференциал этой функции ну как нам

00:13:34

демидович написал да это 1 2 dx поделить

00:13:39

на корень из x

00:13:40

значит мы можем тогда с вами сделать

00:13:44

замену вот давайте мы глянем y равно

00:13:46

корень язык значит и к чему равен y

00:13:48

квадрат значит все что вы здесь видите

00:13:53

dx да мы можем заменить через до y то

00:13:56

есть мы можем даже увидеть да вот это

00:13:58

выражение dx поделить на корень из x это

00:14:00

получается 2

00:14:03

dy-2 d y ну а 1 плюс x это что такое это

00:14:09

один плюс y квадрат

00:14:11

вот так у нас произошла замена то есть

00:14:14

для того чтобы сделать замену нам нужно

00:14:16

знать как превратить x и y вот она

00:14:19

формула и как превратить dx в до y ну

00:14:23

или в данном случае мы сразу заменим

00:14:25

заменим выражение dx поделить на корень

00:14:27

языка сразу заменяем его на 2d игры и

00:14:29

так вот этот интеграл превращается вот в

00:14:32

такой значит и так заменили получили

00:14:35

практически табличный интеграл то есть

00:14:37

двое куда вы носим и мы видим что

00:14:39

остается арктангенс то есть два

00:14:41

арктангенса

00:14:42

y + c

00:14:45

задача будет решена когда мы подставим

00:14:48

вместо игрека x то есть когда мы

00:14:50

вернемся к старым координатам значит

00:14:53

получается что это есть два арктангенса

00:14:55

от корня из x + c

00:14:59

все задача решена

00:15:03

так но если есть вопросы если будут

00:15:06

вопросы задавайте то есть пока что у нас

00:15:09

задача были такие что в них замена была

00:15:11

запрятана нужно было ее увидеть то есть

00:15:14

это что-то вроде олимпиадные задачи к

00:15:16

такой до нужно углядеть но мы с вами в

00:15:19

процессе вот решение задач научимся сами

00:15:23

делать правильные замены то есть

00:15:25

научимся определять по виду интегралов

00:15:27

какую замену нужно сделать в том или

00:15:30

ином случае в этом собственно и состоит

00:15:32

такой вот искусство интегрированию то

00:15:35

есть можно сказать что интегрирование

00:15:36

она чем-то напоминает

00:15:38

можно сказать шахматную партию до или

00:15:41

этюд какой то вот вам данные нужно

00:15:43

значит сделать там мат в три хода

00:15:45

соответственно вам тоже нужно понять вот

00:15:47

какие три хода нужно сделать какие

00:15:49

замены чтобы превратить интеграл более

00:15:52

сложные в интеграл который вы сможете

00:15:54

посчитать и в общем этим мы будем с вами

00:15:56

заниматься то есть будем изучать

00:15:58

некоторые схемы по которым можно эти

00:16:00

интегралы упрощают так хорошо значит мы

00:16:04

по сути с вами сейчас путешествовали

00:16:06

справа налево то есть вот в этой формуле

00:16:09

мы пытались углядеть вот то что написано

00:16:12

справа и превратить его в то что

00:16:14

написано слева но чаще на самом деле при

00:16:16

решении задач происходит процесс

00:16:19

обратный то есть нам дан такой интеграл

00:16:21

мы зачем-то подставляем сюда функцию ж у

00:16:24

т и получаем вроде бы с виду интеграл

00:16:26

более сложные но на практике оказывается

00:16:28

что именно вот этот интеграл и удается

00:16:30

посчитать давайте сейчас пример такой

00:16:33

разберем ну давайте решим вот такую в

00:16:35

любом случае нам она пригодится 1697

00:16:39

хорошая функция до известная тангенс вот

00:16:43

каково проинтегрировать

00:16:46

оказывается тоже по формуле замены

00:16:49

переменной то есть давайте мы сначала

00:16:50

вспомним что тангенс это есть отношение

00:16:53

синуса к косинусу

00:17:00

вот и

00:17:01

значит вспомним соотношение между

00:17:03

функциями то есть производная косинуса

00:17:06

это как раз таки и минус синус

00:17:11

мы видим что у нас есть здесь множитель

00:17:13

синус x до у дикса и кроме того

00:17:18

присутствует также сама функция косинус

00:17:20

это явный намек на то что мы можем

00:17:22

увидеть здесь выражение вот такого вида

00:17:24

и так значит мы можем сказать следующее

00:17:28

что если y равно косинус икс то

00:17:32

получается что d y он будет равен минус

00:17:36

синус x dx и у нас очень похожие

00:17:40

выражение есть не хватает только знаком

00:17:42

минус вот если этот знак минус поставить

00:17:44

то тогда мы увидим что вот он да y а

00:17:51

вот y

00:17:54

значит наш ребус разрешился и мы с вами

00:17:58

получили интеграл более простой значит

00:18:00

это получается минус логарифм модуль y +

00:18:05

c ну и теперь вспоминаем чем у был равен

00:18:08

y он был равен косинус значит ответ

00:18:10

такой это минус логарифм модулю косинус

00:18:14

икс плюс c вот такой оказался интегралу

00:18:19

тангенса то есть неожиданно да вроде

00:18:21

тригонометрическая функция а в ответе

00:18:23

оказалось что первообразная у него

00:18:26

логарифм вот давайте возьмем такую

00:18:29

задачу 1766

00:18:32

1766

00:18:49

так значит в этой задаче нас просят

00:18:51

посчитать интеграл

00:18:53

сейчас бы мне еще разобраться какая там

00:18:56

степень написано значит по моему там

00:18:59

вторая степень вот здесь x квадрат вам

00:19:01

написан

00:19:02

корень кубический из 1 минус x dx но

00:19:07

давайте посчитаем сейчас такой интеграл

00:19:09

значит здесь мы будем путешествовать в

00:19:12

обратную сторону то есть мы подставим

00:19:16

сюда вместо икса некоторое выражение для

00:19:18

того чтобы

00:19:20

хотя наверное давайте сейчас до

00:19:22

сообразим какую нам замену сделать

00:19:24

значит действует такое правило которое

00:19:27

часто помогает если вам что-то не

00:19:30

нравится в интеграле выберите это в

00:19:32

качестве новой переменной вот например а

00:19:34

мне не нравится корень кубический из 1

00:19:36

минус x поэтому давайте я скажу что

00:19:39

пусть это у меня есть новая переменная y

00:19:42

то есть y равен корень кубический из 1

00:19:45

минус x тогда я могу сказать чему равен

00:19:48

x то есть наоборот выразить значит

00:19:51

получается что y в кубе равен 1 минус x

00:19:54

значит x равен 1 минус y в кубе ну и мне

00:19:58

еще понадобится чему равен dx давайте

00:20:01

посчитаем dx чему равен минус 3y квадрат

00:20:05

до y вот когда я получил эти два

00:20:08

равенства

00:20:09

я могу сделать замену переменной и

00:20:12

так x превращается в 1 минус y uber

00:20:17

но x у меня было в квадрате значит тоже

00:20:20

не должен забывать здесь поставить

00:20:22

квадрат дальше у меня идет этот самый

00:20:25

корень из за которого я выбрал до эту

00:20:27

замену переменной то есть просто

00:20:28

множитель y у меня становятся ну и

00:20:31

наконец dx да когда я пишу dx я должен

00:20:35

его заменить на минус 3y квадрат

00:20:38

до y

00:20:40

вот наш вот я сделал замену переменных в

00:20:43

данной ситуации у меня была свобода

00:20:45

выбора да то есть прошлых задачах у меня

00:20:48

практически свобода не было нужно было

00:20:50

как в ребусе углядеть что задумал автор

00:20:52

в этой задачи и реализовать его задумку

00:20:55

здесь же у меня есть уже появляется

00:20:57

некоторая полная свобода я могу поделать

00:21:00

какие угодно замены но не все замены они

00:21:02

одинаково полезны поэтому я сделал

00:21:05

замену такую чтобы у меня пропал этот

00:21:07

корень выбрав этот корень в качестве

00:21:09

новой переменной и мой замысел

00:21:11

реализовался то есть получилось что в

00:21:13

новом интеграле никаких корней не

00:21:16

осталось конечно степени стали довольно

00:21:19

высокие но нас это не пугает значит

00:21:22

давайте мы вынесем минус 3 наружу и под

00:21:25

знаком интеграла мы раскроем скобочки

00:21:27

иначе здесь квадрат разности то есть

00:21:30

один минус 2y кубе плюс y 6 умножается

00:21:34

все это еще на игре в кубе да и гриф

00:21:36

степени конечно высокие но тем не менее

00:21:39

на

00:21:41

читается интеграл этот легко есть вот я

00:21:43

раскрываю скобочки теперь интегрирую

00:21:47

каждое слагаемое по отдельности -3 у

00:21:50

меня остается множитель значит y 4

00:21:53

поделить на 4 минус 2y в 7 поделить на 7

00:21:57

плюс y в 10 поделить на 10 ну и в конце

00:22:02

пишем еще плюс c то есть в общем то это

00:22:05

уже ответ но для того чтобы задача была

00:22:07

окончательно решена нужно вместо вот

00:22:09

этого игрека подставить x мы физически

00:22:13

прямо это делать не будем просто

00:22:15

нарисуем вот эти вот стрелочки ну и

00:22:18

конечно я думаю что вы справитесь с этой

00:22:20

задачей вместо игрека написать вот этот

00:22:22

самый корень то есть до ответ не очень

00:22:24

красивый но зато именно тот который

00:22:27

должен быть то есть когда в математике

00:22:29

приходится выбирать между красотой и

00:22:31

правдой математик должен выбирать правду

00:22:34

задача 1776 значит у нас здесь интеграл

00:22:39

сверху dx а снизу корень из 1 плюс е в

00:22:44

степени x но вот мне здесь в этом

00:22:48

интеграле как раз и не нравится этот

00:22:50

корень из 1 плюс е в степени x поэтому

00:22:52

давайте я скажу пусть это будет новая

00:22:55

перемен на y равно корень из 1 плюс е в

00:22:58

степени x тогда чему будет равен x ну

00:23:02

решаем это уравнение

00:23:03

y квадрат равно 1 + e в степени x е в

00:23:07

степень x равен y квадрат минус 1 значит

00:23:11

x равен логарифм от y квадрат минус 1

00:23:15

вот конечно вы должны понимать что на

00:23:19

самом деле здесь подразумевается

00:23:22

преобразование не только интеграла но и

00:23:24

некоторых промежутков то есть в

00:23:26

частности вот этот интеграл он был

00:23:28

определенно нас везде то есть x у нас ну

00:23:31

мог принимать любые значения но при этом

00:23:34

когда мы сделали замену переменной

00:23:35

конечно же у нас получается что y он

00:23:38

больше чем единица потому что никаких

00:23:42

других значений вот такой корень

00:23:43

принимать не может все такие значения

00:23:45

больше единиц так что на самом деле вот

00:23:48

эта замена которое мы делаем мы

00:23:49

подразумеваем что y теперь у нас

00:23:51

меняется на промежутке от единицы до

00:23:54

плюс бесконечности и на этом промежутке

00:23:55

вот эта замена будет у нас корректной

00:23:58

так для того чтобы сделать замену нам

00:24:01

мало получить чему равен x нам нужно

00:24:04

знать чему равен dx поэтому давайте

00:24:06

посчитаем значит берем производное это

00:24:09

получается 2y делим на то что под знаком

00:24:12

логарифма на y квадрат минус 1 до y то

00:24:15

есть вот так заменяется дифференциал

00:24:18

значит по формуле замена переменных мы

00:24:21

видим что это есть

00:24:23

2y d y поделить на y квадрат минус один

00:24:28

это то что было из дифференциала но еще

00:24:31

у нас и сам y тоже присутствует вот

00:24:34

видите вот этот игрек ну и конечно этот

00:24:37

y можно сократить нас y здесь не равен

00:24:40

нулю да он больше единичка так что можно

00:24:42

сократить наш вот мы получили с вами

00:24:45

интеграл

00:24:47

которые мы считали в прошлый раз

00:24:50

то есть табличный интеграл значит у нас

00:24:53

получается что это есть высокий логарифм

00:24:55

ну вот была одна вторая он умножается на

00:24:58

2 знач остается логарифм от y минус 1

00:25:01

поделить на y + 1 и плюс c

00:25:05

опять таки чтобы задача была решена

00:25:07

нужно еще добавить что y здесь это

00:25:10

обозначение для вот такого корня то есть

00:25:14

можно физически не подставлять я от вас

00:25:16

не буду требовать при решении задачи на

00:25:18

контрольной но мне важно чтобы когда вы

00:25:20

добрались до ответа вы потом подписали

00:25:24

как новые переменные связаны с исходными

00:25:27

переменными в данном случае мы сделали

00:25:29

одну лишь замену и вот получается что

00:25:32

связь она вот такая то есть мы вот так

00:25:34

вот решили эту задачку значит так пока

00:25:36

что мы обсудили с вами один метод до

00:25:38

метод состоит в том если что-то не

00:25:41

нравится выберите это в качестве новой

00:25:42

переменной но есть конечно и другие

00:25:46

способы значит делать подстановки вот

00:25:49

давайте сейчас поймём как избавляться от

00:25:52

простейших корней то есть корень это

00:25:55

довольно плохо с точки зрения вычислений

00:25:58

поэтому есть некоторые способы как от

00:26:01

корней можно избавиться значит давайте

00:26:04

разберемся на примере

00:26:06

задачи

00:26:08

1778

00:26:19

1778

00:26:22

в этой задаче нас просят посчитать

00:26:24

интеграл сверху dx а снизу один минус x

00:26:30

квадрат в степени три вторых

00:26:32

вот так

00:26:35

значит у нас появляется по сути здесь

00:26:38

появляется корень один минус x квадрат

00:26:41

но он возводится потом еще вкупе нам это

00:26:44

выражение не нравится но вот в данном

00:26:47

случае если вы захотите сделать замену

00:26:49

переменной то есть сказать что ну

00:26:51

давайте корень обозначим вот за новую

00:26:53

переменную как мы делали в прошлый раз

00:26:55

если вы сделаете преобразование выразить

00:26:58

и чему равен x через y то вы получите

00:27:01

что от корня вы не избавились

00:27:07

получится что x у вас равен корень из 1

00:27:10

минус y квадрат и когда вы посчитаете

00:27:12

дифференциал то корень может при этом

00:27:15

остаться так что вот такая замена она

00:27:17

будет не очень хорошей но хорошо а какая

00:27:20

тогда замена будет хорошее тут нам на

00:27:23

помощь приходит тригонометрические

00:27:24

функции вот мы видим что вообще это

00:27:28

выражение определено если x у нас

00:27:30

находится в пределах между минус

00:27:32

единичка единичка в данном случае даже

00:27:34

не может их сравняться по модулю единиц

00:27:37

это и строгие неравенство а при таких

00:27:39

условиях мы можем сказать что x у нас

00:27:42

равен например синусу

00:27:45

какой-то переменной т то есть вот при

00:27:49

таких it's у нас всегда найдется т что

00:27:52

синус его равен fakro сексу и в чем

00:27:54

будет преимущество такой замены то есть

00:27:56

для чего удобно вот взять такой замену

00:27:58

то дело в том что один минус x квадрат

00:28:01

это будет 1 минус значит синус квадрате

00:28:04

ты а это просто пусть у нас квадрате ты

00:28:07

вот из этого выражения хорошо

00:28:09

извлекается корень то есть вот такая

00:28:12

постановка x равно синус т1 позволяет

00:28:16

нам избавиться от этого корня то есть

00:28:19

корень из косинус квадрат и вообще

00:28:23

говоря это будет модуль кассе но стая

00:28:26

но поскольку мы вправе сами выбирать

00:28:28

переменную t то мы можем сказать что

00:28:30

например мы берем т которая меняется от

00:28:33

минус и пополам до пи пополам

00:28:36

при этом конечно у нас синус будет

00:28:39

пробегать все значения от минус единички

00:28:41

до единички но пусть у нас будет

00:28:42

положительный поэтому мы сможем просто с

00:28:45

вами модуль опустить и так значит вот

00:28:49

подсказка такая да почему здесь удобно

00:28:52

использовать тригонометрическую функцию

00:28:53

значит состоит в том что при такое

00:28:55

замене

00:28:56

корень из 1 минус x квадрат превращаются

00:28:59

просто в другую тригонометрическую

00:29:01

функцию давайте посмотрим во что это

00:29:03

превратится то есть чему это нас

00:29:06

приведет ночь если x равен синус ты-то

00:29:09

да x равен косинус t dt и давайте мы

00:29:14

сделаем замену то есть мы и делаем в

00:29:16

надежде что избавившись от корня мы

00:29:19

получим более приятный интеграл то есть

00:29:22

это просто некоторая идея то есть мы на

00:29:24

это надеемся что так получится давайте

00:29:26

посмотрим как это еде реализуется значит

00:29:29

dx это у нас косинус тдт

00:29:35

значит как мы с вами выяснили корень из

00:29:38

1 минус x квадрат это просто косинус т и

00:29:41

вот он здесь возводился в куб значит это

00:29:44

будет косинус в кубе д

00:29:47

ну и в результате получился интеграл

00:29:49

табличные единица на косинус квадрат и

00:29:52

это тангенс

00:29:55

тангенс t + c

00:29:59

так и задача уже практически решена то

00:30:03

есть нам нужно только да нам нужно

00:30:06

только с вами выразить тангенс t через

00:30:09

синус ну конечно можно было использовать

00:30:11

арксинус функцию до написать что у нас

00:30:14

ted арксинус x это было бы правда мы бы

00:30:17

сюда подставили но выражение вот такое

00:30:21

тангенс взяты от арксинуса

00:30:25

она не очень красивая поэтому давайте мы

00:30:27

сейчас упростим это выражение и это

00:30:29

правильная за но упростим вспомним

00:30:32

тангенс это сена 100 поделить на поясе

00:30:35

но 100 но мы уже с вами знаем что синус

00:30:37

это просто x а косинус ты это корень из

00:30:42

1 минус x квадрат значит вот этот

00:30:44

тангенс от арксинуса x от на самом деле

00:30:46

просто x поделить на корень из 1 минус x

00:30:49

квадрат давайте вот напишу еще плюс c

00:30:51

все задача решена то есть нам удалось

00:30:55

избавиться от корня до

00:30:57

[музыка]

00:31:00

почему модуль здесь опустили вот про это

00:31:03

да да смотрите значит вот у нас была

00:31:06

такой интеграл из вида самого интеграла

00:31:09

мы понимаем что речь идет не просто о

00:31:11

каких-то иксах а именно об иксах между

00:31:14

минус единичка единичка иначе

00:31:15

подынтегральное выражение не имеет

00:31:17

смысла

00:31:18

вот значит сделаем замену икс равно

00:31:21

синус ted мы вправе выбирать т сами-то

00:31:25

если с какого промежутка она будет и вот

00:31:27

я предлагаю рассмотреть ты из промежутка

00:31:29

от минус и пополам до пи пополам на этом

00:31:32

промежутке синус ты пробегают все

00:31:34

значения от минус единицы до единицы но

00:31:37

при этом у 17 больше нуля для таких ты

00:31:41

поэтому когда мы получили с вами что 1

00:31:44

минус x квадрат этапу синус квадрат d

00:31:46

извлекаем корень получаем модуль косинус

00:31:49

т но мы уже с вами договорились какие у

00:31:51

какой-т мы берем и получается что модуль

00:31:54

косинус tf данной ситуации это просто

00:31:56

косинус 3

00:32:00

до можно самому выбирать то есть вот

00:32:03

преимущества подстановок состоит в том

00:32:05

что вы сами выбираете вы сами хозяева

00:32:08

так сказать своего счастья какую замену

00:32:11

вы сделаете такой результат вы получите

00:32:13

то есть здесь уже появляется некоторое

00:32:16

искусство то есть нужно знать какая

00:32:18

замена позволит вам например избавиться

00:32:21

от корня до или еще что-то сделать и вот

00:32:23

мы как раз на с вами учимся

00:32:25

здесь точно также подошла бы замена x

00:32:28

равно косинус 3 то есть если вы видите

00:32:30

корень из 1 минус x квадрат да то это

00:32:35

индикатор того что вам может помочь

00:32:37

замена x равно синус ты или x равно х

00:32:41

синус т.р. потому что эти замены убивают

00:32:44

пури и

00:32:45

вот как это капля никотина убивает

00:32:48

лошадь до оси моста и косинус ты убивает

00:32:52

вот такой вот корень

00:32:54

так давайте немножко сразу усилим эту

00:32:57

замену то есть обсудим с вами вот если

00:32:59

вы увидите выражение вида такого корень

00:33:02

из а квадрат минус x квадрат

00:33:05

то есть появляется некоторый

00:33:06

положительный будем считать параметр а

00:33:08

то здесь подойдет замена x равно а синус

00:33:12

ты или x равно а косинус ты

00:33:17

вот потому что они убивают вот этот

00:33:20

корень значит и познакомимся еще с одной

00:33:23

похожей заменой которая позволяет

00:33:25

избавляться от корня из квадратного

00:33:28

трехчлена который может принимать как

00:33:30

положительные так и отрицательное

00:33:31

значение

00:33:32

разберемся с этим на примере задачи 1784

00:33:38

1784 в этой задаче нас просят посчитать

00:33:42

интеграл вот такого вида сверху просто

00:33:46

dx а снизу корень из вот такого

00:33:50

произведения x минус а умножить на b

00:33:53

минус x

00:33:55

в этой задачи нам дают подсказку нам

00:34:00

говорят а давайте сделаем подстановку

00:34:01

вот такую x минус а равно b минус a

00:34:07

умножить на синус в квадрате ты

00:34:12

вот давайте попробуем проанализировать

00:34:14

значит почему вдруг нам дают такую

00:34:18

подсказку то есть почему такая замена

00:34:20

окажется хороший вот мы видим что один

00:34:24

множитель действительно есть у нас x

00:34:26

минус а и будет легко подставить вместо

00:34:28

x минус а вот такое выражение но у нас

00:34:30

же есть и другой множитель минус x так

00:34:33

вот что такое b минус x давайте поймем b

00:34:36

минус x и то есть a плюс b из которого

00:34:39

мы уже давайте так точнее это будет у

00:34:43

нас b минус а b минус a

00:34:46

из которого мы вычитаем

00:34:49

x минус а то есть ну можно легко

00:34:51

проверить чтобы минус а минус x минус а

00:34:54

это будет как раз бы минус x вот если

00:34:56

сделать такую подстановку то получится

00:35:00

что вот этот множитель

00:35:02

тоже имеет очень приятный вид

00:35:07

по основному тригонометрическому

00:35:09

тождеству ну вот бы минусом можно

00:35:11

вынести 1 минус синус квадрат эта

00:35:13

косинус квадрат и то есть это b минус a

00:35:15

на пассе нос квадрате т то есть смотрите

00:35:19

окажется что если мы подставим вот

00:35:22

вместо x минус а у нас будет b минус a

00:35:25

на синус квадрате ты

00:35:28

значит b минус x это b минус a на

00:35:33

косинус в квадрате x квадрате т.д. мы с

00:35:37

вами считаем что у нас меньше чем бы

00:35:43

то есть получается как раз где имеет

00:35:47

смысл выражения которая написана значит

00:35:49

x минус а умножить на b минус x это у

00:35:52

нас получится квадратный трехчлен корни

00:35:54

которого а и b

00:35:56

между этими корнями оба множителя

00:35:58

положительные то здесь знак + а при

00:36:02

переходе через эти точки у квадратного

00:36:04

трехчлена меняется знак на отрицательный

00:36:06

то есть на самом деле вот когда речь

00:36:08

идет об этом интеграле подразумевается

00:36:10

что мы работаем на интервале от а до b и

00:36:13

вот на этом интервале от а до б как раз

00:36:16

мы можем во-первых сделать эту замену до

00:36:19

указанную замену и во-вторых это замена

00:36:22

окажется очень продуктивной потому что

00:36:24

мы сможем извлечь корень из этого

00:36:26

произведения вот давайте да давайте

00:36:28

поймем но с корнем что происходит уже

00:36:30

понятно да вот корень у нас превратиться

00:36:32

просто в b минус a умножить на синус

00:36:35

тета косинус т

00:36:37

то есть вот это во что превратится

00:36:40

корень то есть согласитесь что выражение

00:36:42

гораздо более приятное более понятным

00:36:45

так но теперь давайте мы поймем а почему

00:36:49

такую замену мы действительно можем

00:36:51

сделать вот если у нас ты будет

00:36:53

пробегать значения давайте мы выберем

00:36:55

какие значения мы хотим чтобы у нас

00:36:57

пробегала т например она пробегает

00:36:59

значение от 0 до

00:37:03

пи пополам от 0 до пи пополам тогда

00:37:08

получится что синус квадрате т пробежит

00:37:10

значение все возможные от нуля до

00:37:12

единицы

00:37:14

от нуля до единицы

00:37:16

значит умноженное на b минус a но

00:37:19

пробежит все значения от 0 до b минус a

00:37:22

а тогда x который равен a + b минус a на

00:37:27

синус квадрате т он у нас будет

00:37:29

пробегать значения всевозможные от а

00:37:32

зубы как раз бы это у нас и будет b

00:37:35

минус a + а значит действительно вот

00:37:38

замена который нам предлагает демидович

00:37:40

очень хорошее во первых так сказать мы

00:37:43

можем пробежать весь нужный нам интервал

00:37:45

при это и замене и во-вторых мы

00:37:47

избавимся от корня конечно это не

00:37:50

очевидная замена то есть не просто так

00:37:53

дается указание то здесь догадаться до

00:37:55

нее было довольно сложно то есть это

00:37:57

нужно иметь какой-то опыт решения задач

00:37:59

но вот мы сейчас как раз этого опыта и

00:38:01

набираемся с вами то есть мы на примере

00:38:03

наших до предшественников которые

00:38:05

натренировались набили себе так сказать

00:38:08

зубы до на решение таких задач вот они

00:38:11

пришли к такому выводу что если вы

00:38:12

видите квадратный трехчлен на такого

00:38:14

вида то вы знаете да народная примета

00:38:17

такая видите корень из квадратного

00:38:19

трехчлена который значит не везде

00:38:22

положительный значит можно сделать

00:38:24

замену вот такую x минус а равно бы

00:38:26

минуса синус квадрат и так значит мы

00:38:29

увидели пользу от этой замена давайте

00:38:32

приступим к реализации значит как

00:38:34

заменить корень мы поняли а еще нужно

00:38:37

посчитать dx то есть чему равен dx в

00:38:40

данном случае dx у нас будет равен ну

00:38:43

дифференциал нужно взять вот от этой

00:38:45

функции значит будет у нас b минус a

00:38:49

синус квадрат а если продифференцировать

00:38:51

будет 2 оси на 100 умножить на косинус

00:38:55

то ну естественно dt так вот если эту

00:38:59

замену сделать вот у нас dx и заменяет а

00:39:01

на b минус a на два сына стая косинус

00:39:06

тдт а

00:39:08

корень как мы увидели заменяется на b

00:39:11

минус a

00:39:12

синус т.к. но стая то есть очень похожие

00:39:15

выражение и сокращается по сути все

00:39:18

остается интеграл 2 dt

00:39:21

ну понятно что это будет 2 т + c но и

00:39:25

вместо ты теперь нужно подставить

00:39:27

значит выражение но мы здесь не можем

00:39:30

написать ничего более простого значит ты

00:39:33

у нас получается это что такое арксинус

00:39:36

значит арксинус

00:39:39

от корня

00:39:41

из x минус а поделить на b минус a то

00:39:45

есть если мы выразим вот из этой формулы

00:39:47

ты через x то мы получим вот такой вот

00:39:51

ответ знать ответ в этой задаче такой 2

00:39:54

арксинус

00:39:56

корня x минус а поделить на b минус a и

00:39:59

+ c

00:40:02

то есть и так вот про тригонометрические

00:40:06

замены да как избавляться от корней

00:40:07

запомните следующее значит если вот

00:40:10

квадратный трехчлен вот такого вида

00:40:12

разложим на множители то помогает

00:40:14

указанная замена вот такая с квадратом

00:40:16

если у нас значит корень вот такого вида

00:40:20

да написано квадрат минус там x квадрат

00:40:22

то как я вам говорил помогает x равно а

00:40:25

синус ты или x равен косинус ты вот то

00:40:30

есть я думаю что вот с избавлением от

00:40:32

этих корней мы с вами разобрались

00:40:34

давайте разберемся с другими корнями

00:40:37

значит когда корень берется из

00:40:39

квадратного трехчлена другого вида тут

00:40:43

помогут гиперболические замены вот эти

00:40:46

гиперболические подстановки также как

00:40:48

синус косинус помогли нам разобраться с

00:40:50

этими также мы сейчас с вами посмотрим

00:40:53

как можно гиперболические замена делать

00:40:56

так разберем задача 1786

00:41:00

вот значит задача такая

00:41:03

интеграл от корня из a квадрат плюс x

00:41:07

квадрат dx

00:41:10

здесь у нас возникает та же проблема то

00:41:13

есть мы тоже хотим избавиться от корня и

00:41:15

мы хотим сделать такую замену то есть

00:41:18

подставить вместо икса штата чтобы

00:41:20

корень потом из этого выражения легко

00:41:22

извлек ся и чтобы дифференциал выглядел

00:41:24

не слишком сложно от этой функция значит

00:41:27

тут нам на помощь приходит

00:41:28

гиперболические функции давайте я

00:41:30

напомню ещё раз значит синус

00:41:33

гиперболические ты это е в степени t

00:41:36

минус е в степени минус 3 пополам окуси

00:41:39

мозги pir боли чески т это е в степени t

00:41:41

плюс е в степени минус t пополам

00:41:45

преимущество еще этих функций состоит в

00:41:47

том что как раз производная этой функции

00:41:49

равна вот этой и наоборот но кроме того

00:41:52

есть некоторые соотношение вот нас

00:41:55

сейчас интересует основное

00:41:56

гиперболическое тождества то есть если

00:41:58

вы возьмете косинус гиперболический в

00:42:00

квадрате вычтите из него синус

00:42:02

гиперболический в квадрате то вы

00:42:04

получите единичку так же как с основным

00:42:07

тригонометрическим тождеством так там

00:42:09

был знак плюса здесь знак минус так вот

00:42:12

значит мы хотим сыграть на том чтобы это

00:42:15

гиперболическое тождества сработало и

00:42:18

поэтому я предлагаю сделать замену такую

00:42:20

x равно а синус гиперболический

00:42:24

т-тогда во что превратится а квадрат

00:42:28

плюс x квадрат это будет а квадрат плюс

00:42:32

а квадрат синуса гиперболический в

00:42:35

квадрате т и мы видим с вами что один

00:42:38

плюс синус гиперболических в квадрате

00:42:39

это косинус гиперболический в квадрате

00:42:41

то есть это квадрат косинуса

00:42:43

гиперболических квадрате ты значит

00:42:46

корень тогда is a квадрат плюс x квадрат

00:42:50

будет у нас равен корень из а квадрат

00:42:55

косинуса гиперболические в квадрате т ну

00:42:58

а это а косинус гиперболический ты тут

00:43:01

данном случае даже не важно уточнить

00:43:02

какие именно те мы берем косинус

00:43:04

гиперболический он всегда положительно

00:43:07

с дифференциалом от этой функции тоже

00:43:09

будет все в порядке дифференциал x dx

00:43:11

будет равен а косинус гиперболический

00:43:14

тдт значит во что превращается наш

00:43:17

интеграл корень это а косинус

00:43:19

гиперболический т дифференциал это тоже

00:43:22

а косинус гиперболический тдт

00:43:27

вот но хорошо значит уже получилась наша

00:43:33

задача попроще а квадрат можно вынести

00:43:36

косинус гиперболических квадрате

00:43:37

т-т-т-тут остается в принципе для

00:43:40

решения этой задачи можно просто

00:43:42

вспомнить чему равен косинус

00:43:44

гиперболический то есть написать что это

00:43:46

есть а вот эту 1 2 если вынести будет 1

00:43:49

4 е в степени t плюс е в степени минус t

00:43:52

в квадрате ну конечно вы сможете

00:43:55

раскрыть скобки и дальше уже по сути это

00:43:58

будет табличный интеграл но еще может

00:44:01

быть нам пригодятся некоторые

00:44:02

соотношения которые есть для

00:44:04

гиперболических функций например вот так

00:44:07

же как для

00:44:09

косинуса обычного оси нас

00:44:11

гиперболические 2t и то есть два косинус

00:44:15

гиперболический в квадрате t минус 1 вот

00:44:18

можно легко проверить это соотношение

00:44:20

тогда получится что можно здесь понизить

00:44:23

степень то есть написать что это есть

00:44:26

косинус гиперболический от 2 т плюс один

00:44:29

пополам и этот интеграл уже тоже

00:44:33

практически станет табличным вот давайте

00:44:36

сейчас поймём что будет происходить

00:44:38

значит есть у нас а квадрат пополам

00:44:40

косинус гиперболические 2 т плюс один dt

00:44:44

вот такой интеграл нам нужно посчитать

00:44:47

значит а квадрат пополам оставляем

00:44:49

значит здесь у нас будет синус

00:44:51

гиперболический а 2t вот интеграл от вот

00:44:54

этого но еще нужно поделить на 2 помните

00:44:57

то мы в прошлый раз вами обсуждали при

00:45:00

линейное замене значит там единица на а

00:45:02

появлялся множитель вот а в данном

00:45:04

случае это вот двойка это не та которая

00:45:07

здесь значит 1 2 и плюс еще ну интеграл

00:45:11

эти деньги те до от единички это просто

00:45:15

т и + c вот получается ответ но для того

00:45:21

чтобы решить задачу окончательно нам

00:45:22

нужно вернуться к прежним переменным вот

00:45:26

то есть нужно тогда написать чему равно

00:45:28

t но можно

00:45:30

воспользоваться обратные функции мы с

00:45:32

вами говорили да что такое ария синус то

00:45:35

есть получается что это логарифм длинный

00:45:39

логарифм до берется у нас от

00:45:43

чего

00:45:45

так значит нужно x поделить на

00:45:50

плюс корень из а значит x поделить на в

00:45:55

квадрате плюс 1

00:45:57

вот по-моему так если я правильно

00:45:59

вспомнил че-то у нас обратная функция то

00:46:02

есть можно ее сюда подставить ну а синус

00:46:05

2 т вот этот вот синус до которой она

00:46:07

встречается

00:46:09

он равен 2 синус гиперболический косинус

00:46:13

гиперболический т ну а это мы с вами

00:46:16

тоже знаем что такое это 2 умножить на x

00:46:20

поделить на

00:46:21

косинус гиперболический ты вот у нас

00:46:24

есть формула да это единица на на корень

00:46:28

из а квадрат плюс x квадрат то есть мы

00:46:32

умеем с вами превращать

00:46:34

новые переменные вот функция которые

00:46:37

получились в старые ну и значит мы

00:46:39

получим с вами ответ то есть вот чему

00:46:41

равен этот корень до можем может быть до

00:46:43

может быть да я иногда могу это тут мы

00:46:46

может да может может стоять минус я в

00:46:49

прошлый раз выводил но сейчас уже

00:46:50

подзабыл где там плюс ты это где минус

00:46:52

3у синуса минус достаем

00:46:57

но хорошо знать если у синусами ну

00:46:59

значит здесь тоже стоит минус так

00:47:03

вот ну хорошо значит так разобрались с

00:47:08

этими заменами да вот аналогично есть

00:47:12

замена для квадратного трехчлена

00:47:14

из x плюс x плюс b но в общем там нам

00:47:18

демидович подсказывает задача 1790

00:47:20

сделать похожую замену с обычным синусом

00:47:22

я думаю что вы уже разберетесь дома с

00:47:25

этим но единственный до комментарии

00:47:28

которые я дам вот это если вы видите вот

00:47:30

такой корень корень и за квадрат плюс x

00:47:32

квадрат то помогает замена а синус

00:47:34

гиперболических а если вы видите корень

00:47:37

вот такой x квадрат минус х квадрат то

00:47:40

тогда вам поможет замена x равно а

00:47:43

косинус гиперболический то вот то есть

00:47:46

это простейшие такие тригонометрические

00:47:48

и гиперболические замены которые

00:47:49

позволяют избавляться от таких корней

00:47:52

так ну я думаю что наверное вот с этим

00:47:56

блоком задач мы на этом закончим и

00:47:59

давайте сейчас перейдем к обсуждению

00:48:02

2 метода основного как считаются

00:48:06

интеграла то есть замены переменных мы

00:48:08

познакомились немножко но мы ещё к ней

00:48:11

не раз будем возвращаться мы еще с вами

00:48:13

обсудим как интегрируется разные типы

00:48:15

функций вот это только у нас самое

00:48:18

начало такая основа тренировка то есть

00:48:20

как избавляться от таких корней но

00:48:23

давайте сейчас познакомимся со вторым

00:48:25

методом преобразование интегралов

00:48:27

основным значит второй основной метод он

00:48:30

проистекает из другой формулы для

00:48:32

производных вот замена переменных это

00:48:35

производная сложной функции

00:48:36

а

00:48:37

сейчас мы познакомимся с вами с

00:48:39

интегрированием по частям

00:48:48

по частям

00:48:52

основывается этот метод на провели

00:48:55

производные произведения то есть если у

00:48:57

нас есть две функции у at&t и в.т. и

00:49:02

мы хотим посчитать их производную то она

00:49:05

вычисляется так это у штрих от t

00:49:07

умножить на v2 + от t умножить на вы

00:49:12

штрих от t

00:49:14

значит какому выводу мы приходим глядя

00:49:17

на эту формулу ну если вдруг вас

00:49:19

попросили посчитать интеграл у штрих от

00:49:22

t dt

00:49:23

плюс а ты в штрих от t dt то вы знаете

00:49:29

ответ и то есть у от t умножить на v2 +

00:49:33

не определенная постоянное

00:49:36

но у нас также есть свойство линейности

00:49:39

интеграла то есть если у нас существует

00:49:41

интеграл не просто от суммы а вот

00:49:43

предположим он существует от одного

00:49:45

какого-то слагаемого то есть вам

00:49:47

известно что интеграл такой есть от

00:49:50

одного слагаемого тогда значит как он

00:49:53

связан со вторым слагаемым то есть как

00:49:55

только от одного сама ga ima wa

00:49:56

существует так сразу это второго

00:49:58

слагаемого тоже будет существовать

00:49:59

потому что интеграл от их сумму он-то уж

00:50:01

точно есть вот он написан значит как

00:50:04

тогда они связаны между собой можно

00:50:07

разбить этот интеграл тогда на две части

00:50:09

1 и 2

00:50:17

сумму мы их знаем а

00:50:21

потом возьмем один из интегралов и

00:50:23

перенесем в другую часть и мы получим

00:50:26

равенство

00:50:27

давайте я его где-то напишу чтобы вот

00:50:30

она у нас висела да и оставалась здесь

00:50:32

на доске значит интеграл от u штрих от t

00:50:36

в от t dt

00:50:38

он равен у от и в а т

00:50:44

минус интеграл от и в штрих от t dt

00:50:50

вот это и есть формула интегрирования по

00:50:53

частям у вас может возникнуть вопрос а

00:50:56

вот c у нас здесь был вода куда она

00:51:00

делась почему я здесь его не пишу и

00:51:02

получается что действительно интеграл

00:51:04

это мы с вами говорили что это

00:51:06

совокупность всех первообразных да то

00:51:08

есть вот эта c она пробегала все

00:51:09

возможные значения поэтому здесь

00:51:11

написано равенство двух множеств вот

00:51:14

если бы мы здесь мы не могли опуститься

00:51:16

если мы здесь закрыли c мы бы написали

00:51:18

что сумма двух множеств есть какой-то

00:51:21

один элемент всего один представитель

00:51:22

это было бы неверное равенство но вот

00:51:26

здесь когда мы перенесли интеграл в

00:51:28

другую часть у нас получается что не

00:51:30

определенная постоянная она запрятана

00:51:32

здесь и она запрятана здесь ну и

00:51:35

действительно ватт равенство таких

00:51:36

множество то на уже есть

00:51:38

1791

00:51:40

значит в этой задаче нас просят

00:51:43

проинтегрировать логарифм

00:51:47

то есть просят посчитать какая будет

00:51:50

первообразная ну вот какие первообразные

00:51:52

есть у этой функции

00:51:54

как подступиться к этой задаче не

00:51:56

понятно то есть если если бы не метод

00:51:58

интегрирования по частям то совершенно

00:52:00

непонятно что было бы при этом делать

00:52:02

вот но тут начать давайте мы посмотрим в

00:52:06

чем преимущества этого метода видите в

00:52:09

этой формуле y был штрих был штрих а вы

00:52:13

без штриха а после преобразования штрих

00:52:16

перекочевывает на в а то есть суть этого

00:52:19

метода состоит в том что мы

00:52:21

перебрасываем производную с одного

00:52:22

множителя на другой тут у нас 2

00:52:25

множителя нет но на самом деле если

00:52:27

присмотреться то можно его увидеть это

00:52:29

просто единичка и

00:52:31

значит в чем проблема с логарифмом что

00:52:35

логарифм у нас не входит в таблицу

00:52:37

интегралов мы не знаем как считать от

00:52:39

него интеграл но вот если бы логарифм

00:52:42

был про дифференцирован то тогда никаких

00:52:44

проблем бы не было поэтому мы говорим а

00:52:47

давайте-ка единица это у нас будет у

00:52:49

штрих а логарифм это будет у нас в тогда

00:52:53

после преобразования мы возьмем этот

00:52:56

штрих и перекинем иванова и логарифм при

00:52:59

этом исчезнет значит для реализации

00:53:02

нашего плана нам осталось понять а что

00:53:04

мы можем взять в качестве у ну понятно у

00:53:06

от x можно взять x то есть производная

00:53:09

exo как раз равна единица тогда формулы

00:53:12

интегрирования по частям говорит нам

00:53:14

следующее что это есть x умножить на

00:53:17

логарифм x то есть это умножить на вы

00:53:20

потом идет минус потом интеграл теперь у

00:53:24

нас уже идет без штриха то есть у теперь

00:53:27

просто x а вот на логарифм и теперь

00:53:30

навешиваем штрих и вот этот штрих

00:53:32

превращает логарифм в единица на x

00:53:35

значит остался гораздо более простой

00:53:38

интеграл чем был то есть остался

00:53:40

интеграл просто от единицы до x который

00:53:43

мы конечно можем посчитать и

00:53:48

вот мы получили ответ значит так давайте

00:53:52

сейчас такая народная примета то есть

00:53:55

когда нужно применять интегрирование по

00:53:57

частям но если вы видите обратную

00:54:00

функцию какую-нибудь то есть это может

00:54:02

быть логарифм

00:54:03

это может быть арксинус

00:54:08

арккосинус

00:54:10

там арктангенс area синусы area тангенса

00:54:14

то есть если вы видите обратные функции

00:54:16

к логарифмическим ну-ка этим вот

00:54:19

показательным функциям да в том числе

00:54:22

гиперболических функциям электрика на

00:54:24

метрическим то это явный намек на то что

00:54:26

желательно использовать интегрирование

00:54:28

по частям

00:54:30

то есть если вы будете брать производную

00:54:32

от такой функция то она изменит свой тип

00:54:35

то есть она перестанет быть обратной

00:54:37

логарифмической или обратный триган

00:54:39

такой вот как алгоритмического до или

00:54:40

тригонометрическая обратная

00:54:42

тригонометрическая другая примета

00:54:44

состоит в том что у вас присутствуют два

00:54:47

разнородных множителя то есть например у

00:54:50

вас может x на что-то умножаться

00:54:52

например x умножаться на экспоненту или

00:54:55

x может умножаться на синус или отличат

00:54:59

x не обязательно в первой степени да

00:55:01

может быть во второй может там

00:55:03

умножаться на косинус например вот вот

00:55:07

это явные намеки на то что нужно

00:55:08

интегрировать по частям но назначит

00:55:11

также задача это может помочь и при

00:55:14

вычислении интеграла например от таких

00:55:16

множителей е в степени x умножить на

00:55:18

синус x вот давайте мы сейчас разберемся

00:55:21

с этими примерами и увидим как эта

00:55:24

формула работает так ну например давайте

00:55:27

возьмем с вами задачу на такую 1796

00:55:41

значит интеграл

00:55:43

от x по-моему там в квадрате е в степени

00:55:48

минус 2 x dx значит мы видим что у нас

00:55:52

действительно произведение двух

00:55:54

разноплановых множителей то есть есть

00:55:57

степенная функция есть показательная

00:55:59

функция значит намек на то что нужно

00:56:02

использовать интегрирование по частям а

00:56:04

теперь нужно понять какого использовать

00:56:06

то есть мы хотим избавиться от одного из

00:56:09

этих множителей

00:56:10

чтобы у нас не было совершенно

00:56:12

разноплановых множителей но избавиться

00:56:14

от экспонента не получится как бы вы ее

00:56:16

ни интегрировали не дифференцированы она

00:56:18

остается самой собой а вот x квадрат

00:56:22

уничтожить вполне возможно до для этого

00:56:24

достаточно его два раза

00:56:25

продифференцировать значит мы будем

00:56:28

перебрасывать производную экспоненты на

00:56:30

x квадрат и так мы говорим это у нас у

00:56:34

штрих от x а это у нас в attacks

00:56:38

но хорошо какую функцию мы выбираем ну

00:56:43

естественно надо какую-то первообразную

00:56:44

взять то есть е в степени минус 2x но

00:56:46

если просто ее взять-то не получится

00:56:49

производная е в степени минус 2 их

00:56:51

значит нужно еще поделить пополам и

00:56:53

взять знак минус вот так вот такую

00:56:56

функцию мы берем значит тогда по формуле

00:56:59

интегрирование по частям

00:57:00

мы должны написать произведение у на вы

00:57:03

минус x квадрат пополам е в степени

00:57:06

минус 2x это умножить на вы потом по

00:57:10

формуле мы должны написать знак но мы

00:57:13

видим что у нас знак минус будет еще и

00:57:15

здесь тоже значит давайте я сразу заменю

00:57:17

это на знак плюс то есть минус из

00:57:19

формулы и минус отсюда вот я учу

00:57:21

учитываю значит я беру отсюда еще одну

00:57:25

вторую вы на шею за знак интеграла и вот

00:57:28

внутри у меня что остается у attacks и

00:57:31

нужно умножить на v штрих от x то есть

00:57:34

еще у меня будет у вот то что от него

00:57:37

осталось то что еще не вынес наружу это

00:57:39

е в степени минус 2x но еще появляется в

00:57:42

штрих то есть 2 x dx

00:57:45

ну здесь можно двоечку сократить то есть

00:57:49

вот так вот так на первый взгляд может

00:57:51

показаться что мы вроде как не решили

00:57:54

задачу потому что по-прежнему у нас

00:57:56

остался вот этот множитель плохой до

00:57:58

вместо x квадрат только стал теперь x но

00:58:01

мы на шаг приблизились к решению нашей

00:58:03

задачи потому что если мы повторим нашу

00:58:06

схему еще раз то мы от икса избавимся

00:58:09

окончательное так значит мы снова

00:58:11

объявляем что это уж три photex а это вы

00:58:14

от x и снова применяем формулу

00:58:16

интегрирования по частям значит что у

00:58:19

нас в итоге будет минус x квадрат

00:58:21

пополам е в степени минус 2x как была

00:58:24

так и есть значит потом мы пишем а

00:58:26

умножить на в то есть нового у нас

00:58:29

появляется минус но теперь у нас x

00:58:32

пополам

00:58:33

значит е в степени минус

00:58:37

2x потом мы снова по формуле должны

00:58:40

написать знак минус формуле и знак минус

00:58:43

10 становится знак + знак + снова я

00:58:47

выношу одну вторую из-под знака

00:58:50

интеграла и в интеграле у меня остается

00:58:53

какое выражение но вот е в степени минус

00:58:55

2x как она была так и остается еще

00:58:58

производную от икса то есть просто

00:59:00

единичка значит вот что получилось если

00:59:04

еще раз проинтегрировать по частям вот

00:59:06

как мы сделали мы получили уже интеграл

00:59:08

в котором икса не осталось это просто

00:59:11

табличный интеграл то есть мы можем

00:59:14

написать что это есть е в степени минус

00:59:17

2x поделить на 4 со знаком минус ну вот

00:59:20

1 2 взялась отсюда ни одна вторая вот

00:59:23

когда мы считали этот интеграл чем так

00:59:25

ну и все вот он получился ответ то есть

00:59:29

получается у нас в итоге ну можно

00:59:31

упростить немножко до вынести то есть

00:59:33

минус x квадрат пополам минус x пополам

00:59:37

значит становится что там минус 1 4 е в

00:59:41

степени минус 2 x плюс c

00:59:45

вот получился такой ответ то есть данная

00:59:49

задача нам понадобилось два раза

00:59:50

проинтегрировать по частям давайте еще

00:59:53

разберем одну задачу

00:59:55

довольно хитрую до в которой

01:00:00

метод интегрирования по частям тоже

01:00:02

работает но более не привычным способом

01:00:06

итак значит задача такая

01:00:09

1828

01:00:12

1828

01:00:15

в этой задача просят посчитать интеграл

01:00:19

такого вида е в степени x

01:00:22

на косинус bx

01:00:27

значит dx

01:00:29

давайте главное что мы потребуем чтобы а

01:00:32

и b не равнялись нулю вот если они к

01:00:35

равняются нулю то это будет более

01:00:37

простой интеграл и вот так считать не

01:00:38

нужно как мы сейчас делаем так нач вот

01:00:41

такой интеграл

01:00:44

мы видим что здесь разнородная функции е

01:00:47

в степени x и косинус bx но в отличии от

01:00:51

предыдущей задаче если вы будете

01:00:53

дифференцировать косинус то вы получите

01:00:56

синус продифференцировать и синусного

01:00:58

получится косинус и вроде бы мы как

01:01:00

приходим в тупик то есть как от x

01:01:02

квадрат избавиться вроде бы не удается

01:01:04

но наблюдается при этом другой эффект

01:01:06

давайте мы сейчас проделаем

01:01:09

интегрирование по частям значит тут

01:01:12

неважно в какую сторону двигаться то и

01:01:14

что объявлять а что объявлять в давайте

01:01:17

мы скажем так пусть это будет у штрих а

01:01:20

это будет в attacks

01:01:22

как тогда будет выглядеть вот эта

01:01:24

формула интегрирования по частям в

01:01:26

данном случае у от x это что такое это

01:01:28

единица поделить на е в степени x значит

01:01:32

получаются у нас так единица на е в

01:01:35

степени x косинус бы x минус ну и теперь

01:01:40

у нас получается производную нужно

01:01:42

перебросить вот с этой функцией анапу

01:01:44

синус bx производная косинуса

01:01:49

это минус b si nos bx то есть мы вот

01:01:54

этот минус давайте сразу учтем то есть

01:01:57

поставим здесь плюс плюс бы поделить на

01:02:00

отделение на она вот тут бы вода

01:02:03

интеграл е в степени x синус bx dx то

01:02:10

есть вроде бы ничего сильно не

01:02:11

изменилась давайте повторим наше

01:02:14

действие то есть снова объявляем что это

01:02:16

есть у штрих от x а это есть вы attacks

01:02:20

тогда можно повторить преобразованию

01:02:28

это скобочки здесь открою значит

01:02:31

повторяем преобразованию единица на е в

01:02:34

степени x теперь уже синус bx будет у

01:02:38

нас минус но точно так же да если

01:02:41

продифференцировать и нас появляется еще

01:02:43

один множитель б

01:02:45

деление на у нас тут также остается е в

01:02:48

степени x косинус бы x dx ну и вроде бы

01:02:54

как и вроде бы как ну пришли к тому же с

01:02:57

чего начинали то есть можно решить что

01:02:59

это у нас тупик но давайте задумаемся

01:03:02

что происходит то есть и так вот давайте

01:03:04

этот интеграл мы обозначим через и вот

01:03:08

эту интаграм обозначим через и что мы

01:03:10

получили и равно

01:03:13

единица на е в степени x косинус bx

01:03:19

плюс b поделить на квадрат е в степени x

01:03:24

синус b x

01:03:26

минус b квадрат поделить на квадрат и

01:03:32

то есть мы получили некоторые

01:03:35

соотношение то есть можно сказать что

01:03:37

некоторое уравнение на множество функций

01:03:40

на множество вот этих первообразных и

01:03:42

значит тогда мы можем взять и

01:03:47

перенести в другую часть то есть у нас

01:03:50

получается если мы возьмем вот этот

01:03:52

интеграл умноженный на b квадрат

01:03:53

деленный на квадрат перенесем в другую

01:03:55

часть у нас будет 1 плюс б квадрат

01:03:58

поделить на квадрат и

01:04:00

равно вот то что здесь написано давайте

01:04:04

вот используя знак повторение чтобы не

01:04:06

переписывать то есть вот ровно нужно

01:04:08

повторить то что здесь написано но

01:04:10

появляется еще здесь не определенная

01:04:12

постоянная c то есть вот давайте

01:04:15

попробую пояснить в чем тут дело у нас

01:04:17

появилось некоторое соотношение кота нам

01:04:19

говорит что если мы возьмем какую-то

01:04:21

первообразная вот из этого класса из

01:04:23

этого представителя то его можно

01:04:26

представить в следующем виде то что

01:04:28

написано здесь плюс там минус b квадрат

01:04:31

поделить на а квадрат и какой-то другой

01:04:34

возможно представитель этого класса не

01:04:36

определенных интегралов поэтому здесь

01:04:38

было соотношение на множители нам надо

01:04:40

множество но когда мы перенесли в другую

01:04:43

часть нам нужно здесь добавить константу

01:04:45

c потому что никто нам не говорил что

01:04:47

это равенство выполняется для одинаковых

01:04:49

представителей вот этот вот этих

01:04:51

множеств то есть вот этот и поэтому

01:04:54

появляется константа c ну и в итоге мы

01:04:56

получаем ответ чему же тогда равен

01:04:59

интеграл и равно нужно умножить на

01:05:02

квадрат и поделить на квадрат плюс б

01:05:05

квадрат и левую и правую часть вот тогда

01:05:08

как раз вот этот множитель сократится

01:05:10

значит что у нас тогда в итоге будет и

01:05:13

равно а

01:05:15

поделить на а квадрат плюс б квадрат

01:05:18

давайте вот вынесу здесь да это вот вот

01:05:22

вот единица на если на это умножить то

01:05:25

будет а квадрат просто поделить на а

01:05:27

квадрат b квадрат косинус bx

01:05:31

плюс здесь что будет если их перемножить

01:05:34

бы поделить на а квадрат плюс б квадрат

01:05:39

синус bx

01:05:42

все это умножается на е в степени x и

01:05:46

прибавляется c

01:05:48

вот формула то есть в этой задачи нам

01:05:52

удалось добраться до ответа но при этом

01:05:55

хитро то есть мы по сути получили такое

01:05:58

уравнение на ту функцию которую искали и

01:06:01

решив это уравнение нашли ее

01:06:04

хорошо значит смотрите мы с вами вот

01:06:08

надо помнить что интегрирование по

01:06:10

частям и то есть соотношение на

01:06:11

множество на множество решений то есть

01:06:14

вот какой-то представитель

01:06:16

то есть какая-то первообразная для этой

01:06:19

функции она равна у от pvp минус

01:06:22

какая-то первообразная вот отсюда вот по

01:06:26

ним а этот факт давайте мы поймем что

01:06:28

произошло и так у нас было множество

01:06:31

первообразной вот и которые мы ищем

01:06:34

множество первообразной мы получили

01:06:36

соотношение что это есть некоторая

01:06:38

функция плюс b поделить на умножить на

01:06:41

множество других первообразных уже для

01:06:43

этой функции

01:06:44

здесь мы еще раз проинтегрировали по

01:06:47

частям и в результате получили такое

01:06:49

соотношение что вот те первообразные

01:06:52

которые мы ищем вот эти и они связаны с

01:06:55

теми же первообразные которыми мы ищем

01:06:57

но как нужно понимать это равенство что

01:07:01

какое-то конкретное первообразная вот

01:07:04

такого вида она есть конкретная функция

01:07:07

отсюда минус b квадрат поделить на

01:07:09

квадрат но возможна другая первообразная

01:07:12

то есть на самом деле здесь написано

01:07:14

равенство следующее что если вы берете

01:07:16

какую-то первообразную ф-та она равна

01:07:18

вот тому что здесь написано звездочка

01:07:21

давайте я не буду переписывать но

01:07:22

гораздо вот эта функция звездочка минус

01:07:25

b квадрат поделить на квадрат но кто вам

01:07:28

сказал что именно ту же первообразную

01:07:29

нужно брать никто этого не говорил

01:07:31

значит это f + c то есть некоторое

01:07:34

неопределенное постоянно то есть мы

01:07:36

получили некоторые соотношение вот

01:07:37

такого вида и из него мы поняли как

01:07:40

выглядят функции

01:07:42

то есть получается что надо помнить что

01:07:44

вот этой вот это это множество и для

01:07:47

разных представителей может выполняться

01:07:48

вот это равенство

01:07:50

вот значит мы получили вот такой вот

01:07:53

такой вот ответ то есть чему равен этот

01:07:55

интеграл

01:07:56

я вам на дома ставлю похожую задачу

01:07:58

только нужно посчитать синус bx чтобы вы

01:08:01

сами проверили как эта схема работает да

01:08:04

получается что вот эта формула

01:08:07

интегрирования по частям она задается

01:08:09

отношении на какие-то первообразные ты

01:08:11

что какая-то первообразная отсюда и

01:08:13

факты она равна а от t умножить на p

01:08:17

минус какая-то первообразная отсюда но

01:08:21

конечно это первообразная может быть

01:08:23

смещена на константу то есть надо

01:08:25

понимать это так что если фатер какая-то

01:08:27

первообразная того что написано с а

01:08:31

fea t какая-то первообразная того что

01:08:33

написано вот здесь справа то еще может

01:08:36

понадобиться некоторое дополнительное

01:08:38

слагаемое которая их уравновесит то есть

01:08:41

левую правую часть то есть вот так

01:08:43

устроена эта формула интегрирования по

01:08:45

частям помните у нас эта константа c она

01:08:47

была когда эти интегралы были с одной

01:08:50

стороны у нас эта константа c была она

01:08:52

просто спряталась здесь в обозначению но

01:08:54

когда мы решали эту задачу это константа

01:08:57

c снова выехал оттуда то есть она снова

01:08:59

появилась знаете как это говорят бог из

01:09:03

машины это у древних греков значит когда была

01:09:07

неразрешима какая-то ситуация выход

01:09:09

андромеда в конце самые то сцены

01:09:11

появлялся бог который всех раз уже

01:09:14

говорил вот ты прав ты не прав а всего

01:09:16

молодцы вот здесь точно также появляется

01:09:18

эта константа c неожиданно и в

01:09:21

результате значит мы получили ответ с

01:09:24

этой самой константой c

01:09:26

так да пожалуйста ну давайте я перейду к

01:09:31

формулировке домашнего задания теперь то

01:09:33

есть на среду мы за сегодня успели

01:09:36

довольно много то есть мы обсудили два

01:09:37

основных метода то есть собственно

01:09:39

которыми мы будем заниматься то есть у

01:09:41

нас ничего принципиально нового больше

01:09:43

не будет в этой теме мы будем просто

01:09:46

узнавать с вами новые замены и

01:09:49

еще тренироваться до интегрировать по

01:09:52

частям конечно будут у нас какие-то еще

01:09:54

в приему вспомогательные но в общем-то

01:09:56

это вот основное что с интегралами

01:09:58

происходит

01:09:59

так значит час я буду писать вам а

01:10:02

номера задача

01:10:05

за

01:10:10

так вот давайте с одними корнями да как

01:10:13

мы избавлялись от одних корней у

01:10:16

нас угадайка еще было до нужно было у

01:10:19

угадай замену игра такая значит 1690 вот

01:10:23

давайте на эту замену задачу

01:10:30

1695

01:10:40

значит семнадцать ноль

01:10:44

сколько там 03 давайте я дам вам

01:10:46

подсказку перейдите к половинном углу то

01:10:49

есть синус x представьте как 2 синус x

01:10:53

пополам косинус икс пополам это

01:10:55

подсказка вот что вы потом сделали

01:10:59

правильную замену

01:11:02

так то есть замену нужно будет выбрать

01:11:06

вот какой то из этих функций подсказка

01:11:08

такая

01:11:10

попробуйте по крайней мере

01:11:15

точнее точнее даже не так давайте так

01:11:17

вот так напишите да давайте сразу вам

01:11:19

подскажу тогда замену сделайте такую d

01:11:22

равно тангенс икс пополам вот новая

01:11:25

функция пусть будет такая

01:11:28

так хорошо ну вот 3 задач на эту схему я

01:11:31

думаю будет достаточно теперь давайте

01:11:36

что-нибудь другое

01:11:41

так

01:11:43

значит подстановки где нужно выбрать

01:11:46

значит новую переменную чтобы интеграл в

01:11:50

где у красиво значит

01:11:52

давайте вот такую например задачку я

01:11:56

думаю сообразите что там нужно выбрать в

01:11:59

качестве функции

01:12:01

так потом на тригонометрические то есть

01:12:05

например вот такая до

01:12:08

1780

01:12:11

например 1785

01:12:15

раз два три 4 5 6 но давайте еще парочку

01:12:19

задач значит 1790 и

01:12:23

вот как я вам обещал дано интегрирование

01:12:25

по частям мы еще будем вам заниматься

01:12:28

давайте на интегрирование по частям вот

01:12:30

такая задача

01:12:32

1829

01:12:34

вот я думаю что наверно вот этих восьми

01:12:37

задачек не сегодня достаточно там есть

01:12:40

содержательный в следующий раз продолжим

01:12:42

с вами обсуждать методы интегрирования

01:12:49

[музыка]

Описание:

Неопределенный интеграл: замена переменной и интегрирование по частям 00:00:19 Повторение прошлого семинара 00:01:25 Замена переменной в неопределенном интеграле 00:06:04 Зачем мы пишем dx при интегрировании? 00:08:08 Задача №1674 00:12:46 Задача №1680 00:16:34 Задача №1697 00:18:47 Задача №1766 00:22:35 Задача №1776 00:26:21 Задача №1778: тригонометрические замены 00:32:02 Немного о замене корня в интеграле 00:33:20 Задача №1784: тригонометрические замены 00:40:58 Задача №1786: гиперболические замены 00:48:28 Интегрирование по частям 00:51:39 Задача №1791 00:53:52 Интегрирование по частям: замечание 00:55:28 Задача №1796 00:59:52 Задача №1828 01:10:00 Домашнее задание Ссылка на плейлист: https://www.youtube.com/playlist?list=PLcsjsqLLSfNBjTbeeiawjQlL7ok4ZWGdL

Готовим варианты загрузки

Популярные

HD видео

Только звук

Все форматы

* — Если видео проигрывается в новой вкладке, перейдите в неё, а затем кликните по видео правой кнопкой мыши и выберите пункт "Сохранить видео как..."

** — Ссылка предназначенная для онлайн воспроизведения в специализированных плеерах

Вопросы о скачивании видео

Как можно скачать видео "Косухин О.Н. - Математический анализ. Часть 2. Семинары -2.Неопределенный интеграл:замена переменной"?

Сайт http://unidownloader.com/ — лучший способ скачать видео или отдельно аудиодорожку, если хочется обойтись без установки программ и расширений. Расширение UDL Helper — удобная кнопка, которая органично встраивается на сайты YouTube, Instagram и OK.ru для быстрого скачивания контента.
Программа UDL Client (для Windows) — самое мощное решение, поддерживающее более 900 сайтов, социальных сетей и видеохостингов, а также любое качество видео, которое доступно в источнике.
UDL Lite — представляет собой удобный доступ к сайту с мобильного устройства. С его помощью вы можете легко скачивать видео прямо на смартфон.

Какой формат видео "Косухин О.Н. - Математический анализ. Часть 2. Семинары -2.Неопределенный интеграл:замена переменной" выбрать?

Наилучшее качество имеют форматы FullHD (1080p), 2K (1440p), 4K (2160p) и 8K (4320p). Чем больше разрешение вашего экрана, тем выше должно быть качество видео. Однако следует учесть и другие факторы: скорость скачивания, количество свободного места, а также производительность устройства при воспроизведении.

Почему компьютер зависает при загрузке видео "Косухин О.Н. - Математический анализ. Часть 2. Семинары -2.Неопределенный интеграл:замена переменной"?

Полностью зависать браузер/компьютер не должен! Если это произошло, просьба сообщить об этом, указав ссылку на видео. Иногда видео нельзя скачать напрямую в подходящем формате, поэтому мы добавили возможность конвертации файла в нужный формат. В отдельных случаях этот процесс может активно использовать ресурсы компьютера.

Как скачать видео "Косухин О.Н. - Математический анализ. Часть 2. Семинары -2.Неопределенный интеграл:замена переменной" на телефон?

Вы можете скачать видео на свой смартфон с помощью сайта или pwa-приложения UDL Lite. Также есть возможность отправить ссылку на скачивание через QR-код с помощью расширения UDL Helper.

Как скачать аудиодорожку (музыку) в MP3 "Косухин О.Н. - Математический анализ. Часть 2. Семинары -2.Неопределенный интеграл:замена переменной"?

Самый удобный способ — воспользоваться программой UDL Client, которая поддерживает конвертацию видео в формат MP3. В некоторых случаях MP3 можно скачать и через расширение UDL Helper.

Как сохранить кадр из видео "Косухин О.Н. - Математический анализ. Часть 2. Семинары -2.Неопределенный интеграл:замена переменной"?

Эта функция доступна в расширении UDL Helper. Убедитесь, что в настройках отмечен пункт «Отображать кнопку сохранения скриншота из видео». В правом нижнем углу плеера левее иконки «Настройки» должна появиться иконка камеры, по нажатию на которую текущий кадр из видео будет сохранён на ваш компьютер в формате JPEG.

Сколько это всё стоит?

Нисколько. Наши сервисы абсолютно бесплатны для всех пользователей. Здесь нет PRO подписок, нет ограничений на количество или максимальную длину скачиваемого видео.