Скачать "42. Знакомство с гауссовыми числами. Алексей Савватеев. 100 уроков математики"

"videoThumbnail 42. Знакомство с гауссовыми числами. Алексей Савватеев. 100 уроков математики

0:00

Задача о представлении числа в виде суммы двух квадратов

5:18

Гауссово число

10:48

Кольцо гауссовых чисел

17:13

Некоторые примеры

Изучаем математику с нуля / Урок № 11 / Продолжаем знакомство с уравнениями / Часть 2

Изучаем математику с нуля / Урок № 11 / Продолжаем знакомство с уравнениями / Часть 2

Канал: Begin Study

КВИЗ К 8 МАРТА ДЛЯ МЛАДШИХ КЛАССОВ | АВТОР: ПОЛОЗКОВА ВЕРА ВЛАДИМИРОВНА

КВИЗ К 8 МАРТА ДЛЯ МЛАДШИХ КЛАССОВ | АВТОР: ПОЛОЗКОВА ВЕРА ВЛАДИМИРОВНА

Канал: Вера Полозкова

7 класс, 21 урок, Сложение и вычитание многочленов

7 класс, 21 урок, Сложение и вычитание многочленов

Канал: DA VINCI Video Courses

Математический анализ, 15 урок, Ассимптоты

Математический анализ, 15 урок, Ассимптоты

Канал: Видеокурсы DA VINCI

Изучаем математику с нуля / Урок № 7 / Умножение и деление на ноль

Изучаем математику с нуля / Урок № 7 / Умножение и деление на ноль

Канал: Begin Study

OST #Акыркысабак I Күттүм – AKIRO (Official audio)

OST #Акыркысабак I Күттүм – AKIRO (Official audio)

Канал: Bairak group

Савватеев: Есть ли Бог в математике?

Савватеев: Есть ли Бог в математике?

Канал: Роман Сакутин

математика

савватеев

алексей савватеев

интеллектуал

школа

олимпиадная математика

школьная математика

образование

дети и наука

наука

00:00:12

42

00:00:15

гаус совы числа

00:00:21

памятник гаус Великому

00:00:25

но собственно нужна мотивация конечно

00:00:28

мотивация Это задача

00:00:33

вот такая

00:00:35

Пусть N

00:00:37

это произвольное целое число

00:00:41

вопрос

00:00:43

Можно ли

00:00:48

представить N

00:00:54

как сумму двух квадратов

00:01:00

в виде

00:01:02

суммы

00:01:05

двух

00:01:07

квадратов

00:01:13

Если да

00:01:16

то Сколькими способами

00:01:23

тут надо договориться о том что я

00:01:25

называю разными способами что называю

00:01:27

одинаковыми например 5 квадрат плюс 2

00:01:30

квадрат или минус 5 в квадрате плюс 2 в

00:01:33

квадрате это конечно нужно по идее

00:01:35

считать одним способом а вот скажем 5

00:01:39

квадрат плюс 0 квадрат и 3 квадрат плюс

00:01:41

4 Квадрат это два разных очевидно да Ну

00:01:45

странно было бы считать их одинаковыми

00:01:46

представление числа 25 Ну давайте

00:01:50

собственно

00:01:51

для начала немножко

00:01:55

руками Да просто руками поработаем Ну

00:01:58

например любое отрицательное число дает

00:02:00

меньше нуля отсюда

00:02:02

нельзя да Ну понятно у нас квадраты Это

00:02:06

имеется ввиду не комплексные Да числа

00:02:09

обычные целые числа здесь

00:02:13

целых чисел целых чисел Ну можно

00:02:18

ограничиться натуральными потому что я

00:02:19

как уже сказал Да от знака минус здесь

00:02:21

ничего не изменится Первое утверждение

00:02:24

что прием меньше нуля нельзя это сделать

00:02:27

вообще дальше N равно 0 пожалуйста как

00:02:30

бы вам вот единственный способ ноль

00:02:32

квадрат плюс 0 квадрат равен 0 квадрат

00:02:35

конечно Пятачок я и сам так думаю один

00:02:37

равно один квадрат плюс 0 квадрат

00:02:40

два пожалуйста один квадрат плюс один

00:02:43

квадрат

00:02:45

а три а три это первое положительное

00:02:48

целое число которое не представляется

00:02:51

Ну в общем-то можно просто перебрать Да

00:02:54

здесь все варианты если хотя бы одно из

00:02:57

X и Y больше единицы то мы уже вылетели

00:03:00

за тройку потому что квадрат равен как

00:03:03

минимум четверки а второй не

00:03:05

отрицательный А если они оба равны 0 или

00:03:08

1 по модулю да то мы уже и так все

00:03:12

варианты вот здесь перебрали это это

00:03:13

будет все равно в ответе 0 1 или 2

00:03:15

значит 3 нельзя Это проверяется Ну

00:03:18

дальше как бы мы можем продолжать до

00:03:20

некоторое время 4 это понятно Можно два

00:03:23

квадрат плюс 0 квадрат 5 получается

00:03:26

Можно два квадрат плюс один квадрат

00:03:30

шестерку и семерку нельзя и это ну как

00:03:36

бы проверяется тоже руками перебором

00:03:38

восьмерка это два квадрат плюс 2 квадрат

00:03:41

в общем Дальше можно пытаться что-то еще

00:03:44

выдумывать но я же не буду перебором

00:03:46

проверять все Вот например 2017 Можно

00:03:50

или нет представить как сумму двух

00:03:51

квадратов Да или нет Вот я могу сказать

00:03:55

что когда вы очень долго будете

00:03:56

перебирать вы получите что можно вот она

00:04:00

но

00:04:01

какого-то общего рецепта хотелось бы да

00:04:05

кроме как перебора нужно получить четкий

00:04:08

рецепт беру любое число пусть даже оно

00:04:11

безумно большое немножко про него

00:04:14

выясняю какую-то информацию и тогда даю

00:04:17

точно и однозначный ответ можно или

00:04:19

нельзя Если да если можно то Сколькими

00:04:22

способами Ну вот гаус вы числа Они как

00:04:26

раз призваны дать ответ на этот вопрос

00:04:29

Ну давайте Я приведу первый случай когда

00:04:31

двумя разными способами это можно

00:04:33

сделать случай из прямоугольного

00:04:35

треугольника как раз я его уже упоминал

00:04:38

число 25 это с одной стороны 5 квадрат

00:04:43

плюс 0 квадрат а с другой стороны 3

00:04:45

квадрат плюс 4 квадрата вот у вас два

00:04:48

совершенно разных существенно разных

00:04:50

способа представить число 25 Вот и мы

00:04:54

видим что задача перекликается с задачей

00:04:57

пифагоровых тройка которую мы уже решали

00:05:00

но с помощью голосовых чисел мы решим в

00:05:04

одну строку по-другому решим не так

00:05:06

раньше вот так что вот вам реклама

00:05:09

голосовых чисел Ну и собственно Давайте

00:05:12

теперь перейдем к тому что это такое и с

00:05:16

чем их едят То есть как с ними работают

00:05:17

Итак

00:05:24

заслугой Гаусса служит то что он понял

00:05:30

как эту задачу решать с привлечением

00:05:32

комплексных чисел вот смотрите X квадрат

00:05:36

плюс Y Квадрат это x плюс

00:05:38

Y умножить на x минус Y

00:05:42

То есть можно переформулировать вопрос

00:05:44

так предположим что мы изучаем

00:05:46

комплексные числа у которых обе

00:05:49

координаты будут целые то есть

00:05:52

вещественная часть и мнимая Тогда вопрос

00:05:55

разложения сумму двух квадратов Это

00:05:57

вопрос представления N в виде

00:05:59

произведения двух таких вот

00:06:02

целочисленных комплексных чисел Да целых

00:06:05

комплексных чисел Давайте посмотрим где

00:06:07

живут такие числа на плоскости

00:06:10

если это комплексный чисто с целыми X и

00:06:13

Y то ясно что мы должны

00:06:16

провести все вертикальные линии

00:06:19

один за другим во всех целых точках

00:06:23

и все горизонтальные линии начиная с

00:06:27

каждого

00:06:28

целочисленного кратного и

00:06:32

два и так далее вот Три плюс два и

00:06:35

например да В общем

00:06:38

отныне мы обозначаем Z от И потом я

00:06:45

поясню это обозначение

00:06:48

о определению

00:06:54

множество

00:06:57

всех

00:06:59

комплексных чисел A + B

00:07:02

таких

00:07:04

что A и B целые

00:07:10

Z от и

00:07:12

называется

00:07:15

множеством

00:07:18

гауссовых чисел и любое такое число

00:07:20

называется голосовым числом

00:07:23

просто в память о великом гаусе который

00:07:27

разбомбил задачу о сумме двух квадратов

00:07:30

с помощью этих чисел

00:07:33

Итак мы рассматриваем

00:07:36

подмножество внутри с внутри множества с

00:07:42

комплексно чисел состоящая из Вот таких

00:07:45

вот точек Да точек или комплексных чисел

00:07:48

которые стоят на пересечениях вот такой

00:07:51

сетки по сути вот я вам могу сказать что

00:07:53

такое голосовые числа открываете любую

00:07:56

обычную клетчатую тетрадь это есть

00:07:58

голосу числа Да все узлы нарисованный

00:08:01

тетрадочки в клеточку являются

00:08:04

гауссовыми числами только нужно

00:08:06

представить себе Естественно что это все

00:08:07

до бесконечности в обе стороны во все во

00:08:09

все стороны продолжается на всю

00:08:11

плоскость

00:08:12

значит Какими свойствами обладает

00:08:15

множество голосовых чисел Ну смотрите

00:08:18

пусть у меня

00:08:20

Z и W

00:08:23

принадлежат голосовым числам

00:08:27

тогда

00:08:28

очевидно Z плюс

00:08:32

WZ минус W принадлежат тоже

00:08:36

голосом числам То есть если Z и Дубль В

00:08:39

были в узлах этой целочисленной решетки

00:08:41

или иными словами имели вещественные

00:08:44

мимо участие целыми то понятно что и

00:08:47

сумма будет тоже иметь вещественный

00:08:49

мнимой части целыми и разность а также

00:08:52

надо заметить что zwelve

00:08:55

тоже принадлежит Зета ты тоже

00:08:59

так как Давайте посмотрим как

00:09:02

определяется zw заодно вспомним это да а

00:09:06

плюс B и

00:09:07

теперь А и Б целые умножить на C плюс de

00:09:11

Здесь тоже соответственно C и D C равно

00:09:15

AC минус BD и это целое число если ВСД

00:09:19

целые прибавить BC плюс AD на и

00:09:25

BC + 1 тоже целая поэтому внутри

00:09:29

гаусовых чисел без выхода из них можно

00:09:34

осуществлять три операции сложить

00:09:38

вычесть и умножить причем мы эти

00:09:41

операции совершаем естественно по

00:09:43

обычным правилам работы в комплексных

00:09:45

числах которые тождественны правилам

00:09:48

работы в обычных веществ то есть

00:09:50

гауссовые числа они имеют все свойства

00:09:54

которые имеют целые числа в том смысле

00:09:56

что ну арифметические свойства можно их

00:09:58

складывать Вычитать и умножать по

00:09:59

обычным правилам делить соответственно

00:10:01

можно не всегда То есть если я поделю

00:10:04

два голоса числа я уже делил однажды не

00:10:07

в одном из уроков делил два Гаусса числа

00:10:10

друг на друга Если вы вспомните Да

00:10:12

получился результат там уже дроби

00:10:14

появились какие-то 1/2 там что-то такое

00:10:16

вот то есть при делении иногда

00:10:19

получается просто какие-то комплексные

00:10:21

числа а координаты которых не целые А

00:10:24

вот плюс минус умножить можно выполнять

00:10:26

внутри этой системы такие системы чисел

00:10:29

я напоминаю мы уже про это говорили

00:10:31

когда-то называется кольца то есть

00:10:33

гауссовые числа образуют кольцо сейчас я

00:10:38

немножко по-другому подойти к

00:10:41

определению кольца гауссовых чисел

00:10:43

естественно на выходе получится то же

00:10:44

самое но просто чтобы их пощупать с

00:10:46

разных сторон

00:10:50

так друзья мои вот сейчас мы по-другому

00:10:55

чуть-чуть подойдем к голосум числам и

00:10:58

объясним

00:10:59

обозначение потому что вот такого рода

00:11:03

обозначения в математике используются на

00:11:06

всех ее этажах что это такое Это было Z

00:11:15

Но что всех целых чисел и Я пригласил

00:11:18

туда и о но мы-то уже это делали Да мы

00:11:23

это делали мы говорили что с было равно

00:11:27

R от И я кстати я это не писал Но по

00:11:32

сути мы так и сделали Да мы пригласили к

00:11:35

вещественным числам в гости число и

00:11:38

поняли что вместе с не на к нам

00:11:40

напрашивается вся плоскость потому что

00:11:42

любое число на плоскости можно

00:11:45

представить как а плюс б и а операции мы

00:11:47

должны уметь выполнять Вот здесь мы

00:11:49

делаем то же самое только требуем

00:11:51

немножко меньшего

00:11:53

здесь Мы строили поле где можно будет

00:11:56

складывать Вычитать умножать и 9 А тут

00:11:59

мы строим минимальное кольцо вот я хочу

00:12:02

найти минимальное кольцо собственно вот

00:12:05

так обозначается

00:12:07

минимальная по включению кольцо то есть

00:12:11

какое минимальный набор новых чисел надо

00:12:14

взять да которая содержит

00:12:18

содержащие Z

00:12:21

а также отдельное число и

00:12:25

Вот то есть содержит все целые числа

00:12:28

один минус 1 0 1 2 минус два и так далее

00:12:31

и Кроме того число и Вот как оно должно

00:12:34

выглядеть Какое такое минимальное кольцо

00:12:36

будет но я утверждаю что это как раз

00:12:38

значит ответ

00:12:40

состоит в том что это именно множество

00:12:45

всех целочисленных комбинаций

00:12:51

где А и B целые почему Ну потому что

00:12:54

также поступаем как случае с комплексами

00:12:56

Да когда мы строили если мы пригласили и

00:12:58

и хотим чтобы в новой системе было

00:13:01

доступно сложение вычитание тоже этого

00:13:06

достаточно чтобы получить любое такое

00:13:07

выражение

00:13:09

комплексное число тоже было так

00:13:11

достаточно было сложение и вычитание

00:13:12

просто сложение Вот то есть я да ну

00:13:15

единственное что я тут еще умножение

00:13:16

есть потому что я должен уметь и

00:13:18

умножать на любое целое число но вот

00:13:21

если я умножаю и на разные целые числа

00:13:24

до складываю тоже целыми числами то

00:13:27

значит если хочу чтобы это было кольцо

00:13:29

то все такие числа должны там жить Иначе

00:13:31

мы выходим за его пределы Но

00:13:34

теперь я проверяю что этого достаточно в

00:13:38

том точном смысле что если взять любые

00:13:40

два числа этого вида то сложение

00:13:42

вычитание умножения приведет к числу

00:13:44

такого же вида и мы это уже проверили

00:13:46

поэтому это действительно минимальное

00:13:48

множество с таким свойством минимальное

00:13:50

кольцо содержащее все целые числа и

00:13:53

число и отлично

00:13:56

теперь вопрос А что мы

00:13:59

про кольца знаем такого интересного

00:14:02

Чего как бы нет в полях да чем Z

00:14:05

интересно по сравнению со всеми

00:14:07

вещественными числами Вот вы задавались

00:14:08

когда-нибудь вопросом чем целые числа

00:14:10

интересные по сравнению с вещественными

00:14:13

ответ

00:14:14

теории делимости и основной теоремы

00:14:17

арифметики то есть вот этим определением

00:14:19

до определения целых числах оно тоже

00:14:22

дается но я создам

00:14:24

гаус сова

00:14:27

число

00:14:29

а плюс B И

00:14:31

делится на C плюс de тоже гаусова

00:14:41

если существует

00:14:44

x плюс Y

00:14:48

Ну естественно тоже Голосова

00:14:53

такое

00:14:56

что A + B

00:15:01

равно равно C плюс de

00:15:04

умножить на x плюс Y по правилам

00:15:08

умножения комплексных чисел то есть

00:15:12

а должно быть равно CX минус D Y А B

00:15:17

должно быть равно DX + C Y вот ровно так

00:15:21

я определяю

00:15:23

отделимость в гассовых числах

00:15:25

комплексных числах смысла в этом

00:15:27

определении нет любое число делится на

00:15:29

любое другое Также как веществах такого

00:15:32

значит определение что Альфа там делится

00:15:35

на гамма в том случае если существует

00:15:37

бета приумножении ногам дочь Альфа в

00:15:40

целых числах это имеет смысл и приводит

00:15:42

к интереснейшей теории делимости которые

00:15:44

мы уже занимались А в вещественных

00:15:46

числах никакого смысла не имеет даже в

00:15:48

дробях любая дробь деятельность также

00:15:51

здесь комплексных числах смысла нет а в

00:15:54

галсовых есть потому что я требую

00:15:57

целочисленности X и Y

00:16:00

Ну и вот собственно говоря когда у нас

00:16:03

есть такое определение делимости

00:16:06

мы можем пытаться понять что такое

00:16:09

простое число например да Что значит оно

00:16:11

не делится ни на что кроме себя единицы

00:16:13

но в каком смысле ни на что кроме себя

00:16:15

единицы могут быть нюансы Да какие-то

00:16:17

новые в голосовых числах могут

00:16:19

возникнуть какие-то новые интересные

00:16:20

идеи какие-то прозрения Да вот дальше мы

00:16:24

говорим о делимости и разложении на

00:16:27

множители Да изучаем основную теорию

00:16:29

арифметики В общем вот этим всем мы

00:16:32

займемся и в качестве бонус трека

00:16:35

получим решение о разложении числа сумму

00:16:39

двух квадратов потому что в голосовых

00:16:40

числах по сути это просто задача о том

00:16:43

Сколькими способами раскладывается на

00:16:46

множители число и на обычное целое число

00:16:48

n в голосовых числах Как можно разложить

00:16:52

на множители то есть какие числа

00:16:54

остаются простыми какие они остаются У

00:16:56

каких есть разложение существенное

00:16:59

разложение именно на галстую множители А

00:17:02

у каких этого разложения нет Ну вот

00:17:05

примерный план действий мы наметили

00:17:07

Сейчас переходим к изучению простых

00:17:11

галсовых чисел

00:17:15

прежде чем давать строгое определение

00:17:18

простоты гаус числа И вообще приступать

00:17:21

к такому систематическому анализу

00:17:24

голосовых чисел Я хочу привести

00:17:26

несколько примеров как раз и связанных с

00:17:30

этой нашей

00:17:31

лейтмотивной задачей которую я теперь

00:17:34

могу записать как

00:17:36

возможность представить обычное целое

00:17:40

число в виде произведения двух голосовых

00:17:44

сопряженных друг другу чисел кстати

00:17:47

сразу же скажу что у любого Гаусса числа

00:17:51

норма является целым числом Почему

00:17:55

удобно Часто говорить О нормах а не у

00:17:58

модулях потому что модуль голоса

00:17:59

Вячеслав Вполне может быть корнем

00:18:01

квадратным из какого-то положительного

00:18:03

целого числа а вот норма всегда будет не

00:18:06

отрицательным целым числом Ну вот

00:18:08

собственно говоря Давайте

00:18:12

напишем несколько странных ситуаций вот

00:18:15

было у нас число 2 до

00:18:17

оно было простым в целых числах

00:18:20

а теперь что

00:18:23

а теперь так как оно есть сумма двух

00:18:25

квадратов то оно

00:18:27

автоматом представляется вот в таком

00:18:30

виде

00:18:33

соответственно либо вот эти числа ну в

00:18:37

каком-то смысле не должны идти в счет

00:18:40

при разложении на множители но не очень

00:18:44

понятно почему они не должны идти в счет

00:18:45

нормальный голосовые числа Да а либо

00:18:49

это двойка наша перестала быть простым

00:18:52

гаусов потому что ну как бы мне не

00:18:55

хочется считать что каждый из них там

00:18:56

похоже на один или -1

00:18:59

А кстати

00:19:02

касаемо один и минус один все-таки вытап

00:19:04

плюс бы и например Мы всегда любой

00:19:07

галстую число до можем поделить на и

00:19:09

получится б минус А И это безусловно

00:19:13

тоже гаусво то есть ситуации когда мы

00:19:16

какое-то число не должны брать счет

00:19:18

применимости они явно будут они будут

00:19:21

связаны например числом и ну и полный

00:19:23

анализ чуть позже мы дадим этой ситуации

00:19:25

Да ну вот здесь кажется что двойка

00:19:29

разложилась на множители Ну выяснится

00:19:31

что так оно и есть двойка перестала быть

00:19:33

простым числа Идем дальше тройка в сумму

00:19:36

квадратов не раскладывается но возникает

00:19:39

вопрос а все-таки оно простое или нет

00:19:43

гауссово число а ну пока мы можем только

00:19:46

перебором ответить на этот вопрос

00:19:48

оставим его в стороне на самом деле

00:19:50

тройка будет простым числом А вот

00:19:52

пятерка Что происходит в пятеркой

00:19:54

смотрите пятерка это два квадрат плюс

00:19:57

один квадрат

00:19:58

то есть два плюс и умножить на 2 минус

00:20:04

и тоже Ну явно явно видно что пятерка

00:20:09

перестает быть простым в голосовых

00:20:13

вообще вот эту задачу

00:20:15

а разбивает на два этапа вначале ее

00:20:19

решают при простом

00:20:21

и при простых N

00:20:24

соответствующая задача а носит

00:20:28

гордое название

00:20:31

Рождественская теорема Ферма иногда

00:20:34

соответствующие результаты или похожи на

00:20:36

него называется теорема Ферма эллергауса

00:20:41

но мне указывают что вот скорее Вот это

00:20:44

более частое название Рождественская

00:20:47

теорема Ферма

00:20:50

и звучит она так

00:20:54

если P

00:20:58

дает остаток Один при делении на 4

00:21:02

и является простым

00:21:07

то существует целые X Y

00:21:12

такие что P равно х квадрат плюс

00:21:17

Y квадрат

00:21:18

и это есть Ключевое вообще утверждение А

00:21:21

в теории значит разложения сумму

00:21:26

квадратов и это утверждение должен

00:21:28

сказать что мы будем доказывать очень

00:21:30

долго и даже как бы до конца и не

00:21:33

докажем потому что нам потребуются

00:21:34

некоторые тонкие результаты из теории

00:21:37

остатков отделение на п результаты

00:21:41

которые мы сможем впоследствии только

00:21:43

получить Когда будем изучать многочлены

00:21:46

и их корни Вот Но вот Ключевое

00:21:48

утверждение здесь приведено простые

00:21:51

вообще чисто Какого вида бывает либо два

00:21:53

оно дает остаток 2 определение 4 но

00:21:55

больше никакой простое число не даст

00:21:58

остаток 2 определили на 4 потому что все

00:22:00

такие числа в дальнейшем будут четные и

00:22:02

соответственно Непростые

00:22:03

а либо оно дает остаток один либо дает

00:22:06

остаток 3 4 по очевидным причинам тоже

00:22:08

не может давать простое число так вот

00:22:10

довольно легко понять что Никакое число

00:22:13

вида 4K плюс 3 в виде суммы двух

00:22:16

квадратов выразиться не может это

00:22:18

делается просто приведением к остаткам

00:22:20

отделения на 4 а вот про числа вида 4К

00:22:24

плюс один вот все что мы начнем дальше

00:22:25

перебирать там 13 то же самое Да очень

00:22:28

быстро получим что это три квадрат плюс

00:22:30

2 квадрат то есть Три плюс два и на 3

00:22:33

минус 2 и вот такие числа да Они вроде

00:22:36

как раскладывают сумму двух квадратов И

00:22:38

тем самым теряют свою простоту в

00:22:40

голосовых числах а но как бы для очень

00:22:43

большого числа искать соответствующие

00:22:46

числа довольно долго и вообще как бы это

00:22:49

очень содержательное утверждение

00:22:50

Ну и гаус он прояснил связь с простотой

00:22:54

в гауссовых числах вот этих вот чисел и

00:22:57

полностью как бы закрыл этот вопрос Он

00:23:00

увидел где зарыта здесь собака он

00:23:03

доказал эту рождественскую теорему ферма

00:23:06

исходя из арифметики гауссовых чисел Ну

00:23:10

вот собственно говоря мы повторим его

00:23:13

путь мы пройдем дорогой Карлов Фридриха

00:23:16

Гаусса в следующих нескольких уроках

00:23:21

Друзья если вам понравился этот урок то

00:23:25

подписывайтесь на канал и ставьте лайки

00:23:27

А полная версия урока вместе с

00:23:30

конспектами и заданиями находится на

00:23:34

сайте проекта дети и наука вот по этой

00:23:38

подсказочке или по ссылке в описании к

00:23:40

видео

00:23:41

[музыка]

Описание:

Урок полностью: https://childrenscience.ru/courses/sav/42/1/ Курс "100 уроков математики": https://childrenscience.ru/courses/sav/ 0:00 - Задача о представлении числа в виде суммы двух квадратов 5:18 - Гауссово число 10:48 - Кольцо гауссовых чисел 17:13 - Некоторые примеры Наш сайт - https://childrenscience.ru/ Мы в социальных сетях: Facebook - https://www.facebook.com/detinauka/ Instagram - https://www.instagram.com/childrenscience/ VKontakte - https://vk.com/childrenscience Возрастное ограничение: 0+

Готовим варианты загрузки

Популярные

HD видео

Только звук

Все форматы

* — Если видео проигрывается в новой вкладке, перейдите в неё, а затем кликните по видео правой кнопкой мыши и выберите пункт "Сохранить видео как..."

** — Ссылка предназначенная для онлайн воспроизведения в специализированных плеерах

Вопросы о скачивании видео

Как можно скачать видео "42. Знакомство с гауссовыми числами. Алексей Савватеев. 100 уроков математики"?

Сайт http://unidownloader.com/ — лучший способ скачать видео или отдельно аудиодорожку, если хочется обойтись без установки программ и расширений. Расширение UDL Helper — удобная кнопка, которая органично встраивается на сайты YouTube, Instagram и OK.ru для быстрого скачивания контента.
Программа UDL Client (для Windows) — самое мощное решение, поддерживающее более 900 сайтов, социальных сетей и видеохостингов, а также любое качество видео, которое доступно в источнике.
UDL Lite — представляет собой удобный доступ к сайту с мобильного устройства. С его помощью вы можете легко скачивать видео прямо на смартфон.

Какой формат видео "42. Знакомство с гауссовыми числами. Алексей Савватеев. 100 уроков математики" выбрать?

Наилучшее качество имеют форматы FullHD (1080p), 2K (1440p), 4K (2160p) и 8K (4320p). Чем больше разрешение вашего экрана, тем выше должно быть качество видео. Однако следует учесть и другие факторы: скорость скачивания, количество свободного места, а также производительность устройства при воспроизведении.

Почему компьютер зависает при загрузке видео "42. Знакомство с гауссовыми числами. Алексей Савватеев. 100 уроков математики"?

Полностью зависать браузер/компьютер не должен! Если это произошло, просьба сообщить об этом, указав ссылку на видео. Иногда видео нельзя скачать напрямую в подходящем формате, поэтому мы добавили возможность конвертации файла в нужный формат. В отдельных случаях этот процесс может активно использовать ресурсы компьютера.

Как скачать видео "42. Знакомство с гауссовыми числами. Алексей Савватеев. 100 уроков математики" на телефон?

Вы можете скачать видео на свой смартфон с помощью сайта или pwa-приложения UDL Lite. Также есть возможность отправить ссылку на скачивание через QR-код с помощью расширения UDL Helper.

Как скачать аудиодорожку (музыку) в MP3 "42. Знакомство с гауссовыми числами. Алексей Савватеев. 100 уроков математики"?

Самый удобный способ — воспользоваться программой UDL Client, которая поддерживает конвертацию видео в формат MP3. В некоторых случаях MP3 можно скачать и через расширение UDL Helper.

Как сохранить кадр из видео "42. Знакомство с гауссовыми числами. Алексей Савватеев. 100 уроков математики"?

Эта функция доступна в расширении UDL Helper. Убедитесь, что в настройках отмечен пункт «Отображать кнопку сохранения скриншота из видео». В правом нижнем углу плеера левее иконки «Настройки» должна появиться иконка камеры, по нажатию на которую текущий кадр из видео будет сохранён на ваш компьютер в формате JPEG.

Сколько это всё стоит?

Нисколько. Наши сервисы абсолютно бесплатны для всех пользователей. Здесь нет PRO подписок, нет ограничений на количество или максимальную длину скачиваемого видео.