Скачать "Лекция 17 | Алгебра | Константин Чепуркин | Лекториум"
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252F7CGJJmxvY0Q%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
Похожие ролики из нашего каталога
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252FAEyCPz6M8fE%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252FDQMMuYrgEr4%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252FD_j8y7Vf90Q%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252FFfnyVpARKZQ%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252FJZWHC1SOXFU%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252FYrYaq3IkAbM%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252FaIJE39b4r38%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252FalfGUvlDvP4%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252Fc3ssjG4zL7s%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
%3Aformat(webp)%2Fi.ytimg.com%252Fvi_webp%252FuG1pD29PWCc%252Fmaxresdefault.webp&w=1139&q=75)
Теги видео
Субтитры
Английский
00:00:03
что вспомнил что у нас было в прошлый00:00:04
раз на чем мы с вами остановились00:00:07
значит остановились мы на понятие00:00:10
линейной комбинации понятие линейной00:00:13
независимости00:00:14
значит мою линейная комбинация это00:00:17
просто произвольное выражение вот такого00:00:19
вида кто соответственно это линейная00:00:21
комбинация векторов быт00:00:25
с коэффициентами миллиарда и терра00:00:31
линейная независимость00:00:33
это некое свойство набора векторов вот у00:00:37
нас есть набор векторов в один в.н. и мы00:00:40
говорим что не линейно независимы если00:00:43
кто напомнит я сосуществуют такие00:00:46
коэффициенты при которых лямда один в00:00:49
один кто стендаля линда нвн равно нулю00:00:52
при этом хотя бы один из этих00:00:53
коэффициентов не равен00:00:55
ну в этой ситуации они как раз00:00:58
называются зависимыми00:01:01
да00:01:03
ну если коэффициента ненулевые00:01:06
существуют так что сумма равна нулю а в00:01:09
этой ситуации они называются как раз00:01:11
линейно зависимыми ну а соответственно00:01:14
отрицание готова выглядят следующим00:01:16
образом00:01:17
вектор линейно независимы если вдруг для00:01:20
некоторые сумме получилось так00:01:24
что она 0 если вдруг для некоторой00:01:27
линейной комбинации получилось что на00:01:28
март из этого должно автоматически00:01:30
следовать что тогда все лямда и 3000:01:34
ну и соответственно00:01:37
проверка того чтобы хоть набор векторов00:01:39
линейно независимы обычно так происходит00:01:41
вы предполагаете что есть линейная00:01:43
комбинация которой равна нулю и дальше00:01:45
должны доказать что все коэффициенты00:01:47
равны нулю00:01:48
такая у нас была геометрическая00:01:50
интерпретация линейной независимости00:01:53
ну для r300:01:56
говорили мотивировали эту sadler ты кто00:01:59
помнит00:02:00
фонарные виктор да да да что ты если у00:02:03
нас есть стройка викторов то они линии00:02:06
независимо в триест они в одной00:02:08
плоскости проходящую через00:02:10
ну вот здорово00:02:13
хорошо00:02:15
теперь надо бы немножко какие-то примеры00:02:18
привести я думаю что у вас на практиках00:02:22
уже много чего было ну давайте00:02:24
как мухи на лекциях тоже парочку00:02:27
примеров приведем00:02:29
ничего особенного00:02:31
начнем с векторного пространства которое00:02:35
состоит из столбцов и00:02:37
среди этих столбцов есть самые просто00:02:41
выглядящие столбцы00:02:44
столбцы вот у вида00:02:53
ну соответственно00:02:54
они выглядят так что если у вас00:02:58
единичка может стоять на какой-то этой00:03:00
позиции вот это вектор литра значит00:03:02
такой набор столбцов будет называться00:03:04
стандартным базе сами слова базис00:03:06
немножко позже обсудим00:03:08
вот но00:03:12
в целом уже и так00:03:16
его полезно запоминать потому что это00:03:19
словосочетание у нас будет очень00:03:21
устойчивым и будет часто использоваться00:03:25
стандартный базис это линейно00:03:27
независимой набор векторов00:03:31
как ни крути какой бы не была там наша00:03:34
публика это линейно независимы набор00:03:36
векторов00:03:37
мы в чем тут дело давайте просто00:03:39
посмотрим на линейную комбинацию из00:03:41
факторов вот мы рассматриваем вектор00:03:44
сунанда и ты ей ты где вид это как раз00:03:47
вот эти вот стандартные базисные вектора00:03:49
чему такая линейная комбинация равна00:03:52
как столбцу00:03:56
ямада это да да просто столбцу если00:04:00
андре как вот такой вот столбец нам дать00:04:02
им линден непонятно швец лет столбец00:04:05
равен нулю вдруг так оказалось то из00:04:07
этого автоматически последует что все00:04:08
лямда и ты равную00:04:11
вот поэтому от набор линейно независимы00:04:15
хорошо ну давайте пункт один штрих то же00:04:19
самое про матрицы понятное дело бывают00:04:22
вот такие матрицы00:04:23
с двумя индексами у которых на этой же00:04:27
этой позиции стоит единицу а00:04:30
все остальное люли00:04:36
понятное дело они по тем же он причинам00:04:39
линейно независимы они морально ничем не00:04:42
отличаются от столкнул00:04:46
хорошо давайте еще что-нибудь обсудим ну00:04:49
хорошо например когда набор из двух00:04:52
векторов линейно независимы00:05:02
что00:05:03
это сказать 100:05:06
умножение 2 на константу ну да они не00:05:09
пропорциональны правильно ну то есть00:05:11
формально мы должны были посмотреть что00:05:13
у нас лян лян до 1 в 1 плюс i am на 2200:05:19
должны хотели бы получить чтобы вот от00:05:22
суммы некогда было не равно нулю если00:05:24
хотя бы один из лямда землям дата не00:05:26
равен нулю00:05:28
есть хоть один00:05:31
ну и соответственно дальше например если00:05:34
лямда один не равен нулю то мы на него00:05:37
можем поделить и тогда получится что в00:05:40
один это какая-то константа на b2 то00:05:43
есть в один кратного 200:05:45
ну и соответственно получается что00:05:51
сейчас извените00:05:54
если что00:05:56
если мы предполагаем что не линейно00:05:59
зависимы то есть как раз вот такое00:06:01
соотношение есть да где лиам до 1 или00:06:06
лямда 2 не равны нулю хоть какой-то вот00:06:09
то из этого бы следовало что один00:06:11
выражается через другой соответственно00:06:13
не линейно независимы00:06:15
если00:06:17
это вот линейно зависима тогда вот так00:06:19
ну а соответственно не линейно00:06:21
независимы если один непропорционально00:06:23
другом хорошо так что нибудь еще00:06:28
ну да у нас еще будут какие стандартные00:06:31
обозначения давайте их заодно и введём00:06:34
вот здесь еще один пример на этом00:06:36
маленьком кусочке просмотрим значит00:06:40
пример такой мы можем посмотреть кольцо00:06:43
многочленов взять все многочлена степень00:06:46
которых меньше в равна н00:06:48
ну и соответственно базис базис пока нам00:06:52
рано но в этом пространстве живет вот00:06:55
такая вот линейно независимая система00:06:57
значит это линейно независимая система00:07:00
состоит из элементов 1 x x квадрат так00:07:03
далее x-wing и00:07:05
всего n + 1 штука00:07:09
ну довольно естественно00:07:16
[музыка]00:07:18
минут стоит упомянуть что конечно00:07:23
если у вас есть какая-то линейно00:07:26
независимая система то есть его можно00:07:27
получить много много других линий00:07:29
независимых систем в частности в00:07:31
пространстве столбцов есть много-много00:07:32
других линейно независимых систем ну00:07:35
давайте посмотрим какой-нибудь самый00:07:37
простой способ00:07:38
при котором изогнуть мина независимой00:07:41
системы можно получить другую считать00:07:43
способ на виден в общем-то методом00:07:45
гаусса как и все что происходит базовый00:07:49
линейной алгебре00:07:51
значит а именно если у вас есть какой-то00:07:53
набор виктором давайте это в качестве00:07:54
примера 4 сделаем если у вас есть00:07:57
какой-то набор векторов в один так далее00:07:59
б.н.00:08:00
да я из него могу получить новый линейно00:08:04
независимой набор виктором следующим00:08:06
образом я могу взять00:08:09
два индекса и00:08:11
ежи и некий коэффициент le onde иска мы00:08:15
после этого сделать следующее взять00:08:17
новый набор векторов вот такой вы один00:08:19
так далее ну вектор вы это оставим на00:08:22
месте а вот ножи той позиции мы сделаем00:08:26
следующее мы возьмем вектор выжить и00:08:28
прибавим к нему линдана вы этой ну и00:08:31
дальше продолжим как была вот такая вот00:08:34
новая00:08:37
такой вот новый набор векторов я00:08:40
утверждаю что он остается00:08:43
точно также линейно независимы мысли был00:08:47
линейно независимы исходами00:08:49
давайте попробуем это проверить и00:08:53
так ну пусть нас есть какой-то набор00:08:56
коэффициентов миозин00:09:00
ну этих векторов все еще штук и00:09:04
мы рассмотрим сумму давайте вот так00:09:08
новый набор назовем такой каким нить00:09:11
буквами там в один со штрихом его00:09:13
назовем наш быт то есть также штрих вот00:09:17
это вот новый вектор выживет и штрих00:09:19
ивента штрих почти ничего не отличаются00:09:24
тем менее значит мы рассматриваем00:09:26
линейную комбинацию сумма имеет их вы00:09:30
это штрих равно blue должны показать что00:09:33
всеми видит и равны нулю00:09:41
итак наш ум от 1 до n надо понять почему00:09:45
же это так почему мнению что не мешает00:09:51
ну как мы можем эту сумму переписать00:09:56
через исходная наши ректора да давайте00:09:59
распишем через исходные вектора00:10:01
будут ли умер00:10:04
значит понятное дело что так как в00:10:06
каждой вы это и входят предыдущий00:10:09
вышитый с коэффициентом 1 то у меня по00:10:13
крайней мере останется вот такой кусок00:10:14
сниму сумма по и равно единице то я не00:10:17
то я просто на вы это без штриха00:10:18
правильно а какой у меня еще00:10:21
дополнительные элементы00:10:27
какой у меня будет дополнительно00:10:30
слагаемым для матовой00:10:32
ну она будет не совсем00:10:40
вот из этого выражения долл вот из этого00:10:43
вектора должно появиться новая слагает00:10:45
сам от вектор дам нажать на коэффициент00:10:47
между ты поэтому меня получается еще вот00:10:49
такое дополнительное слагали на00:10:51
этой ореанда выйти и вот теперь мы00:10:55
предполагаем что такая штука равна нулю00:10:58
. неплохо получилось как-то00:11:02
индекс ну давайте индекс да здесь будет00:11:05
пока например какой нибудь к.к.00:11:09
значит здесь тоже к к00:11:13
yandex к отлично начну и теперь мы00:11:17
предполагаем что каяс умывашка равно00:11:19
нулю что мы теперь можем сделать мы00:11:21
можем из этого можем сделать вывод что00:11:23
все коэффициенты при всех вышках обнулю00:11:25
ну в общем то довольно много нам дает00:11:28
если мы посмотрим все вытяжки кроме00:11:31
номера и то что какие при них00:11:34
коэффициенты но при них коэффициенты и00:11:37
слегка неровном это при них коэффициенты00:11:40
это в точности мем котэ00:11:43
ну вот соответственно получаем что при к00:11:45
равным и всеми у кота и правду миру ну00:11:49
то есть уже почти все из этих рюшек00:11:51
кроме одного точно умрем стали00:11:54
последние значит00:11:58
коэффициент коэффициент привык а там00:12:03
значит он привык а там выглядит00:12:06
следующим при выйдем прошу прощения00:12:08
выглядят следующим образом это просто не00:12:10
витая00:12:11
на которой вот отсюда вышел из этого00:12:14
выражение значит плюс00:12:17
неужто00:12:18
000:12:19
вот он тоже должен быть равен нулю а что00:12:23
такое по нашему коэффициент и смотрите я00:12:28
пытаюсь доказать что вот этот набор00:12:30
линейно независимы правильно00:12:34
я взял набор коэффициентов угол сниму00:12:38
предположил что она 0 и теперь пытаюсь00:12:40
получить 5 набор коэффициентов сам равен00:12:42
нулю ну и вот я уже почти добился всего00:12:45
я раскрыл выражение понял что00:12:48
коэффициенты при векторах вы это в этом00:12:50
выражение равно пока ты в этом выражении00:12:52
равна нулю00:12:54
значит при к неровным и это просто миф00:12:56
карты по честному при к равным и это вот00:13:00
такое выражение но давайте заметим что00:13:02
мы уже точно знаем что может и не00:13:04
0 да я здесь не говорю не говорил это00:13:08
надеюсь понятно что мы взяли так чтобы00:13:11
не было а00:13:13
значит вот это выражение уже равно нулю00:13:16
потому что мы промежутке знаем что ну 000:13:18
0 все достается устают и но раму00:13:21
закончили наше рассуждение00:13:23
можно и врачу а точнее то есть мы00:13:25
говорим что вот у нас у нас получилось00:13:28
тесто через те же виктора которые были00:13:30
изначально и поскольку мы знаем что не00:13:32
линейно независимой от a при всех ты не00:13:34
должна стоять множество бронированию это00:13:36
читаем люк от да да здесь я00:13:41
воспользовался линейной независимости00:13:42
набора векторов выйти00:13:46
хорошо ну вот мы получили теперь способ00:13:51
который похож мы в общем то является в00:13:54
каком-то смысле элементарным00:13:55
преобразованием первого типа который00:13:57
изменение независимому набор векторов00:13:59
получать новые линейно независимы набор00:14:03
вот это здорово замечательно ну а теперь00:14:06
неплохо бы немножко в другую сторону00:14:08
подумать про то же самое вот а именно00:14:11
когда наш набор точно является линейно00:14:15
зависимы00:14:16
но и здесь логика в общем-то понятна00:14:18
логика00:14:19
примерно такая но представьте себе вот00:14:22
вы на плоскость а берете три вектора00:14:26
мы понятно что эти три вектора точно00:14:29
будут линейно зависима правильно00:14:32
значит дальше вы там в трехмерном00:14:33
пространстве vl3 берете 4 вектора00:14:38
наверное понятно что они точно будут00:14:40
линейно зависима00:14:42
до 1 будет выражаться через три00:14:44
остальных скорее всего уж точно вот ну00:14:47
ее эту логику надо как-то оформить в00:14:49
теорему00:14:51
это теорема на собственные будет00:14:54
являться ключевым нашим фактом для00:14:56
определения00:14:58
того самого понятия который мы здесь не00:15:01
мы подразумеваем именно понятия размер00:15:03
плоскость она двумерная но не может быть00:15:07
на двумерной плоскости три независимых00:15:09
векторов точно также r3 но это наверное00:15:12
трехмерное пространство не может быть в00:15:14
нём 4 линейно независимых векторов вот00:15:17
на пути к понятию размерности нам надо00:15:18
доказать следующую теорему00:15:20
лишь теорема называется о линейной00:15:23
зависимости линейных комбинаций00:15:27
линейный00:15:29
зависимости линейных комбинаций00:15:39
в00:15:41
о чем речь00:15:43
вот у нас есть какой-то набор векторов в00:15:45
один так далее в.м. ничего про него не00:15:49
знаем но дальше по этому набору векторов00:15:52
мы строим другие вектора u 1 м так что00:15:56
вот эти вектора u 1 у м сами по себе00:15:59
являются линейными комбинациями выдох00:16:08
итак что же мы хотим теперь сказать не00:16:11
утверждаю что если выполнены неравенство00:16:14
что м строго больше чем n то каким бы ни00:16:18
был изначальный на бурному набор00:16:20
векторов вы это00:16:23
если n больше m00:16:26
тау набор векторов у 1-м линейно00:16:28
зависима00:16:38
начну это в точности удовлетворяет00:16:41
нашему представлять о том что был там00:16:43
любой вектор в r 3 он является суммой 300:16:46
стандартных базисных векторов как мы с00:16:48
вами обсудили и 1 и 2 и 3 правильно00:16:50
видимо это как ты говорить о размерности00:16:53
трехмерного пространства ну а теперь мы00:16:55
взяли больше лекторов чем размерности и00:16:57
оказывается что они обязаны быть линейно00:17:00
зависимыми путей а00:17:03
в один wan у нас линейно независимы00:17:06
любые неважно00:17:11
любые виктора из какого-то векторного00:17:13
пространства в не важно какое это было00:17:15
пространство и какие это были виктора00:17:17
важно то что если мы возьмем у 1н больше00:17:20
они выражались через ограниченное00:17:23
количество таких в один в.м.00:17:25
то они обязаны будут между собой иметь00:17:27
линейную зависимость00:17:31
понять 700:17:34
так ну что же давайте доказывать теорему00:17:37
доказать это пародия на метод гаусса как00:17:41
всегда00:17:44
что мы будем делать00:17:48
ну давайте будем доказывать это00:17:51
утверждение какой-нибудь индукции00:17:54
я буду доказывать его индукции п.н.00:17:59
вместо я хочу его доказывать индукции00:18:02
поинту логично что мне нужно было00:18:04
получить какой-нибудь набор векторов00:18:06
которые будет зависеть который будет00:18:09
выражаться через меньшее количество00:18:11
векторов в один в.н.00:18:15
можно наверно такой набор векторов00:18:17
сделать00:18:19
каким образом вы давайте возьмем вектора00:18:22
u 1 м00:18:24
и возьмем какой-нибудь из этих векторов00:18:26
в00:18:32
выражении для которого коэффициент при в00:18:36
м нам не 0 вот что у нас получается мы00:18:39
знаем что наши вектора u и ted какая-то00:18:42
сумма значит лямда и жить на выжидая00:18:45
правильно00:18:46
ну и мы теперь можем взять такой вектор00:18:49
u00:18:51
ну например давайте пусть это после00:18:54
перенумерация будет обязательно умный00:18:56
вектор мы можем взять такой вектор u м00:18:58
такое что коэффициент00:19:00
линда00:19:03
м-м не равен нулю ну то есть вот вот00:19:07
здесь вот на последнем месте что тот00:19:11
вектор n там сумму чего-то чего-то00:19:13
чего-то то что на последнем месте00:19:17
вот коэффициент при военном не равен00:19:19
нулю00:19:24
здесь военные можно было бы прямо первым00:19:27
делать как там в методе гауссу в этом00:19:30
чуть-чуть мне кажется логичным и00:19:34
так вот мы взяли такой вектор u м что00:19:38
теперь можно при помощи этого вектора u00:19:40
м сделать вот представьте себе что у нас00:19:42
здесь написано какой нибудь там виктор00:19:44
очку м минус 100:19:47
что он тоже равно какая сумма лямда м00:19:50
минус 1 м00:19:53
в.н. ну что я теперь могу сделать а00:19:55
теперь могу этот вектор u м прибавить к00:19:58
этому с каким-нибудь коэффициентом так00:20:01
чтобы вот этот индекс умер так чтобы00:20:05
вхождение в нём -1 умерла после00:20:08
соответствующей добавки конечно ну не00:20:11
сложно этот коэффициент написать00:20:14
давайте теперь благодарят некое значит00:20:17
определим пруст новый набор векторов наш00:20:20
новый набор векторов будет называться у00:20:23
это я только со штрихами и это штрих00:20:26
будет равно00:20:28
это будет старый у это минус ну вот00:20:33
то что мы должны были прибавить чтобы у00:20:36
нас получился 0 коэффициент а значит00:20:39
минус00:20:41
лямда00:20:50
именно с00:20:52
1-ой00:20:54
нет линда и00:20:58
n поделить на linda00:21:02
[музыка]00:21:04
м.м.00:21:06
и00:21:08
м вот так00:21:11
согласно вроде я00:21:15
вот у вектора u этого здесь стоит00:21:18
коэффициент лямда и т н е в н а значит и00:21:22
мне нужно вот это уж не помню ну вот это00:21:24
выражение домножить на такой коэффициент00:21:26
чтобы получилось то же самое что здесь00:21:29
минусом а то есть мы берем такие uid и00:21:33
что у них prevent а мне 0 да да мы берем00:21:36
вот такие вот уйти со штрихом00:21:39
нет погодите я я предположил что у меня00:21:43
вот этот коэффициент00:21:45
линда м.н. он не 000:21:49
[музыка] а00:21:53
я заехала при помощи вот этого вектора u00:21:55
n 200:21:58
я делаю новый набор векторов у это штрих00:22:05
такой что этот новый набор векторов00:22:08
будет выражаться00:22:15
через в один в n минус 100:22:21
просто тогда00:22:23
забудь слове что при у00:22:25
и там где и меньшим тоже prevent он00:22:28
должен быть не 000:22:30
не00:22:32
просто будет целиком любой там будет но00:22:37
если вот это в ноль ну и пожалуйста00:22:40
лямда и н 0 ну здорово я просто ничего00:22:44
не вычитаем а очень понятно00:22:47
да мне важно здесь чтобы я мог поделить00:22:50
на коэффициент при военном вот здесь00:22:54
мы потом разберем00:22:56
да ладно сейчас сказал мы можем00:22:59
гарантировать что мы найдем такую00:23:01
комбинацию что прям дмн было не равно00:23:04
нулю нет технически не можем но давайте00:23:07
заметим что если я умная и n равно нулю00:23:11
для любого и00:23:13
то мы уже можем воспользоваться00:23:15
индукционным предположением правда ообще00:23:18
ну как а раньше они просто не зависит от00:23:21
в н выпить забыли про него и00:23:23
воспользовалась предположением ну и мне00:23:26
изменилось а н заменилась на -1 и уж не00:23:30
равен 100 .00:23:31
сохранилось если им было больше чем n00:23:35
то что что строго больше чем один и00:23:40
так00:23:42
значит сколько таких викторов у этой00:23:44
штрих ну да какого и разумно эту00:23:47
процедуру продолжать ну видимо у это00:23:51
штрих они живут от 1 до n минус 100:23:55
правильно00:24:01
что у нас получилось у нас есть м минус00:24:04
1 вектор который выражается через n00:24:06
минус 1 вектор правильно00:24:08
хорошо00:24:10
раз у нас есть такое00:24:13
набор векторов00:24:15
и00:24:17
м минус 1 по-прежнему больше чем n минус00:24:20
100:24:21
то мы можем воспользоваться индукционным00:24:24
предположениям00:24:26
а по индукционном предположение получает00:24:28
что тогда этот набор векторов у один00:24:30
штрих так далее00:24:32
минус один штрих он линейно зависимы00:24:39
ну хорошо вот этот набор ли независим00:24:43
давайте поймем что же это означает для00:24:45
нас00:24:48
что же это означает но это с что там00:24:52
есть один ну хотя бы один не нулевой00:24:55
коэффициент и значит если мы последний00:24:58
вектор добавим с нулем то все равно00:25:00
зависим от00:25:01
ну да вы действительно00:25:04
давайте00:25:07
попробуем ну например в следующем ключе00:25:10
на посмотреть я предлагаю такой способ00:25:13
рассуждений00:25:15
давайте просто посмотрим теперь00:25:20
мне же надо про убиты изначально чтобы00:25:23
считать просто посмотрим линейную00:25:24
комбинацию и так00:25:26
шумно там линда это лямды у нас занята00:25:31
давайте буквами опять будем пользоваться00:25:33
значит сумма это я у это пусть равна00:25:37
нулю ну давайте заметим что все наши00:25:41
замечательные убиты они выражаются через00:25:46
[музыка]00:25:52
они выражаются через наш00:25:55
славные вектора u это штрих и умная00:25:59
правильно00:26:01
как то у нас получается значит у нас00:26:03
получается следующим образом все00:26:07
там штрихи не нужны а сейчас часов00:26:11
примерно до меня для чего-то извините я00:26:14
заговорился значит даже линейную00:26:17
зависимость получил уже и мне ей надо00:26:20
воспользоваться00:26:21
да значит смотрите вот раз вот эти00:26:24
линейно зависима то я могу следующую00:26:26
вещь сделать я могу взять написать00:26:27
нетривиальную линейную комбинацию00:26:29
правильно мне говорят про штрихи что00:26:32
удобнее рассмотреть конечно вот такое00:26:33
выражение для улетаешь тихо значит а00:26:36
именно нетривиальную линейную комбинацию00:26:37
где все не всеми ты не все00:26:42
визиты равны нулю00:26:47
есть а это здесь это значит вот такая00:26:50
вот нетривиальная линейная комбинация00:26:52
для викторов уйти штрих ну вот а теперь00:26:56
до цель просто надо эти вектора u это00:26:57
штрих расписать через00:27:01
uid00:27:02
без штрихов значит получается вот опять00:27:06
же такая же суммарное что это00:27:09
только night росноу этапа и от00:27:16
значит 1 до n минус 1 как и здесь00:27:22
ну а потом еще есть отдельные слагаемые00:27:25
которое соответствует ни одному моему00:27:28
значит там что у нас получается там00:27:31
будет коэффициент00:27:34
вылезает приемном какое-то правильно00:27:40
значит коэффициент там неправильно00:27:44
логичнее было бы написать это какая-то00:27:47
сумма вот этих ушек с какими-то вот00:27:50
этими вот лентами давайте не будем00:27:52
думать какой00:27:54
он нам не нужен на самом деле важно то00:27:57
что вот это вот линейной комбинации от00:27:59
на самом деле линейной комбинации ушек и00:28:01
в начале стоят вот такие вот00:28:02
коэффициенты при всех кроме воя мной00:28:05
согласны00:28:08
угла согласно ну вот на что теперь00:28:11
получается получается что в этой00:28:13
линейной комбинации тоже не все00:28:15
коэффициенты равны нулю потому что00:28:17
просто при первых убитых все00:28:20
коэффициенты те же самые милиции про00:28:22
которые мы гарантируем узнали что они не00:28:24
ною00:28:25
все вместе00:28:28
ну что это означает это означает что мы00:28:31
нашли нетривиальную линейную комбинацию00:28:32
исходных ушек которое давало 000:28:36
ну на этом доказательству теоремы и00:28:38
заканчивается00:28:40
значит мы нашли то что хотели00:28:44
реальную линейную комбинацию00:28:48
ну вот такие дела00:28:54
значит для того чтобы двигаться дальше00:28:56
мне нужно дать несколько определений00:28:59
над в частности в теореме о линейной00:29:02
зависимости линейных комбинаций00:29:04
мы смотрели на00:29:06
брали какой-то набор векторов в один00:29:09
в.м. и смотрели на 1-м которые могли00:29:13
быть какими угодно их линейными00:29:14
комбинациями00:29:16
связи с этим у нас конечно есть00:29:18
замечательное определение а именно мы00:29:21
можем посмотреть на множество всех00:29:24
линейных комбинаций00:29:26
заданного набора векторов линда один в00:29:30
один плюс и так далее плюс лямда нвн вот00:29:35
такой вот множество лямда и ты ну00:29:37
давайте здесь так напишем лямда этот00:29:40
произвольные элементы иска00:29:42
произвольные коэффициенты00:29:45
что мы можем пройти множество хорошего00:29:48
сказать00:29:49
я утверждаю что это носит не просто так00:29:52
а это множество под пространство внутри00:29:54
исходного пространство вы из которого00:29:56
были взяты наш вектор очки00:30:00
значит естественно на значок значок под00:30:04
пространство я буду тоже писать как00:30:06
меньше либо равно как подгруппу внутри00:30:08
группы ну и так далее00:30:10
итак вот это вот пространство внутри00:30:13
пространства в00:30:20
более того это подпространство довольно00:30:23
естественным образом связано с самими00:30:25
этими векторами в один в.н. ну что в00:30:27
общем ожидаемо а именно это наименьшее00:30:30
под пространство наименьшее под00:30:33
пространство внутри в00:30:35
который содержит в один в.н.00:30:45
согласно00:30:49
ну конечно ну00:30:52
в общем то как и раньше про идеала как00:30:57
раньше про группы00:31:00
понятное дело что такие элементы такие00:31:03
суммы обязаны входить произвольное00:31:05
пространство которое содержит виктора вы00:31:07
один быть00:31:09
составлена из них коль скоро но само по00:31:11
себе подпространство как раз является00:31:13
вот этим самым не меньшим по включению00:31:18
прошел00:31:22
с этим у нас есть определение значит00:31:26
первое это определение под пространство00:31:28
порожденного векторами в 1 н вот она уже00:31:31
здесь фактически да но00:31:33
если у нас есть набор векторов вы один00:31:35
вариант а вот это вот пространство00:31:37
называется под пространством порожденным00:31:39
этими векторами 1 п.м. ну я записывать00:31:42
его буду при помощи вот таких вот00:31:44
треугольных скобочек сейчас извините00:31:49
не чихнуть пока00:31:51
проект поехали дальше будем ждать более00:31:55
подходящего момента а00:31:58
второй кусок определения следующий свою00:32:02
очередь если у вас есть под про стран00:32:04
есть если у вас есть пространство и в00:32:08
нем есть какой-то набор векторов00:32:11
в один в.м. и выполнена что этот набор00:32:15
векторов00:32:16
рождает все пространство00:32:19
то в этом ситуации логично что это набор00:32:22
векторов иметь специальное название а00:32:24
именно такой набор векторов называется00:32:26
порождающая система для пространства вы00:32:39
вот00:32:41
замечательно00:32:43
если скомбинировать00:32:45
определение порождающий системы и00:32:48
понятия линейной независимости00:32:50
то получается понятие базисом00:32:56
давайте посмотрим на это понятие в00:32:59
принципе я уже эти слова произносил00:33:02
вот следующий бой понятия борису иметь00:33:07
звучит следующим образом значит так00:33:10
пусть нас есть набор в один в.н. внутри00:33:13
пространства вы тогда такой набор00:33:16
векторов называется базисом00:33:22
или supra стоим00:33:25
если первый набор векторов линии00:33:29
независим а00:33:32
второе одному векторов00:33:35
рождает все пространство00:33:45
так ну что же давайте00:33:48
а00:33:53
немножечко пор у понятия базиса00:33:55
поговорил00:33:58
значит у понятие базиса есть00:34:02
несколько перри формулировок00:34:05
я скажу сейчас самую простую из них00:34:08
который00:34:10
обычно наиболее просто проверяется00:34:15
насчет а именно эта формировку выглядит00:34:18
следующим образом00:34:22
давайте оформлять в качестве утверждения00:34:23
то набор векторов в один в.н.00:34:27
внутри пространства бы вы являются00:34:29
базисом00:34:33
тогда и только тогда когда для любого00:34:36
вектора v с 200:34:38
существует и единственный набор00:34:40
элементов лямда 1 лям да м00:34:44
такое что в равен sin это выйти то есть00:34:49
лямда это это коэффициенты в линейной00:34:51
комбинации которая выражает в через00:34:53
базис00:34:57
вот00:34:59
давайте про это утверждение00:35:02
это утверждение немножко посмотрим00:35:06
пойдем что и в какую сторону здесь00:35:09
очевидно00:35:15
ну на самом деле наверное наиболее00:35:17
просто доказать в эту сторону меньше00:35:20
всего слов нужно00:35:25
значит если у нас есть вот это вот00:35:27
свойство из этого автоматически00:35:29
следовать что набор векторов в один в.н.00:35:31
это базис00:35:33
давайте подумаем почему00:35:37
понятно ли почему выполнил второе00:35:40
условия того что набор в один вариант00:35:42
является базисом00:35:45
ну да то есть то что вы один вариант00:35:48
порождает пространство вы00:35:53
это где как написано да действительно00:35:56
здесь просто написано что такой набор то00:35:59
есть из существования просто такого00:36:01
набора как раз и следует то что набор в00:36:03
один вариант набор в один в является00:36:06
порождающим дамы любой вектор можем00:36:08
представить виде линейной комбинации00:36:11
поэтому 2 очевидно выполнен00:36:15
давайте посмотрим теперь на пункт 1 на00:36:18
линейную не зависимость векторов в один00:36:21
в.н. почему викторова один войны линейно00:36:24
независимы если у нас есть00:36:25
единственность разложения00:36:30
потому что есть единственность00:36:32
разложения 0 правильно спасибо00:36:34
действительно00:36:37
единственность разложения 000:36:41
есть как раз условия на то что не00:36:44
существует нетривиальных нулевых00:36:47
линейных комбинаций00:36:48
правда00:36:51
представим себе линейную комбинацию00:36:52
предположим что она равна нулю00:36:56
мы можем сравнить ее с другой линейной00:36:58
комбинации 0 на вы один плюс и так далее00:37:00
плюс 0 на в.н. тоже равно нулю ну и из00:37:05
единственность отсюда должно следовать00:37:06
что все лямда идти равным00:37:09
что доказывает линейную независимость00:37:14
поэтому вот это утверждение в одну00:37:17
сторону просто совсем очень00:37:19
другую стороны она на самом деле не00:37:21
сильно сложнее00:37:25
ничто перед же00:37:30
существование и единственность надо00:37:32
доказывать00:37:33
можно доказывать по отдельности00:37:35
правильно00:37:36
[музыка]00:37:37
вот здесь вот00:37:38
существование мы точно также получаем из00:37:41
условия того что набор в один вариант00:37:43
порождает в00:37:45
с того чтобы один wine порождает вы как00:37:47
раз и следует что существуют такие00:37:49
коэффициенты лиандри ты существует такая00:37:51
линейная комбинация00:37:53
которая дает произвольный наперёд00:37:56
заданный вектор из00:38:00
вот значит существованием понятно откуда00:38:04
следует теперь вопрос единственности как00:38:07
представим себе что у нас есть две или00:38:09
иные комбинации которые дают один и тот00:38:11
же вектор00:38:14
если сумма этого это тоже равно вектору00:38:18
г00:38:20
ну теперь как свести это к00:38:23
единственности для линейной комбинации 000:38:26
которое как мы знаем и есть линейная не00:38:28
зови меня иная независимость00:38:31
разность00:38:33
одно из другого спасибо значит получили00:38:37
вот такое выражение00:38:41
получили что такая сумма равна нулю ну и00:38:44
теперь по линии не независимости00:38:47
получаем что лямда это минус 9 равно00:38:50
нулю то есть линда это равно это за00:38:53
levorg00:38:57
линейная независимость доказан00:39:01
и так ну мы сами переформулировали00:39:04
понятие базиса00:39:07
вообще-то неплохо было бы доказать что00:39:09
базе сосуществуют00:39:16
понятие борис вообще будет центральную в00:39:18
нашем с вами обсуждения линейной алгебры00:39:23
частности в определении понятия00:39:25
размерности00:39:28
поэтому мы сейчас на него столько00:39:31
внимание тратим00:39:36
хочется немножко про понятие базе00:39:38
сказать00:39:40
хочется про понятие базе сказать00:39:42
следующее на текущий момент я давал00:39:44
определение базиса предполагаю что00:39:46
набора виктор ук вы один винт конечно00:39:49
правильно00:39:50
пока все выглядело именно таким образом00:39:53
вообще-то это не обязательно так00:39:56
ну например00:39:59
хороший пример вот такой набор векторов00:40:01
1 x x квадрат так далее xn и и до00:40:05
бесконечности00:40:06
ну00:40:08
наверное логично считать что это базис00:40:12
про00:40:14
многочленов с коэффициентами в поле к00:40:18
правильно00:40:20
любой многочлен однозначно представим00:40:22
видят сумму вот таких манулов правда00:40:25
значит здесь есть две проблемы00:40:28
значит первая проблема это неудобство00:40:31
понять понятия базиса а именно вместо00:40:35
того чтобы рассматривать конечные00:40:37
линейные комбинации в этом понятии00:40:41
приходится обычно расматривать00:40:42
бесконечные линейные комбинации ну00:40:45
оговаривать отдельно что почти все00:40:46
коэффициенты в этой линейной комбинации00:40:48
должно быть равны нулю вот это не всегда00:40:51
удобно ну и так сказать меньшее из зол00:40:53
гораздо большую зон заключается том что00:40:56
следующую теорему про существования00:40:58
базиса00:41:00
надо было бы доказывать гораздо более00:41:02
серьезными свойств гораздо более00:41:04
серьезной техникой с теории множеств чем00:41:06
я буду делать от сейчас а именно значит00:41:10
существование базиса в общей ситуации00:41:13
когда у нас пространства могут быть00:41:15
бесконечно мерными00:41:17
доказывать при помощи00:41:20
ли мусор на я не знаю голос такой не00:41:23
было но неважно общем если вы не знаете00:41:27
что это такое то для вас эта загадочная00:41:29
штука который видим достаточно00:41:34
четкий технически сложный инструмент00:41:37
ну не настолько сложным просто нам на00:41:40
это несколько порно потратить что просто00:41:42
его обсудить а00:41:43
с другой стороны если вы знаете что это00:41:46
такое ну вы наверно себя представляет00:41:48
что доказательство при помощи ли mozzart00:41:50
money не самые простые00:41:52
вот поэтому во всем дальнейшем я буду00:41:57
предполагать что00:42:01
бойцы у нас всегда будут конечными что00:42:04
во всех пространствах у нас будут00:42:06
существовать конечные базисы кроме00:42:09
возможно пространств которые будут00:42:10
участвовать в виде пример00:42:12
вот там например пространстве00:42:14
непрерывных функций00:42:15
не сложно показать что базис00:42:17
пространстве непрерывных функций имеет00:42:20
всегда мощность континуум00:42:23
проблема в том что базис никто никогда00:42:25
не видел все про него знают об в теории00:42:27
что он есть и в общем-то он никому не00:42:30
нужен на это примерно общая судьба для00:42:33
бесконечно мерных пространств что то что00:42:36
в алгебре называется базисом в этих00:42:38
пространствах просто в гробу не нужно00:42:40
никто его никогда не видел никто его00:42:42
никогда не используют одну а в каких-то00:42:45
более-менее простых ситуациях вот типа00:42:49
пространство многочленов тут базиса00:42:51
первых это обычный очевиден и про него00:42:53
ничего отдельно говорить не надо ну и00:42:55
само по себе это пространство в целом00:42:57
нам обычные нужно нам обычно от этого00:43:00
пространства нужны многочлена степень00:43:02
которых ограничено а она уж всяко будет00:43:04
подходить под нашу штуку под наши00:43:07
рассмотрели потому что в этом00:43:09
пространстве очевидно есть вот такой вот00:43:11
базе с которой состоит из конечного00:43:13
числа элементов00:43:15
и так значит я закончил свой разговор по00:43:19
поводу того что мы с бесконечной мерными00:43:21
пространствами и вообще боюсь не в00:43:23
котором бесконечно много элементов00:43:25
встречаться практически никогда не будем00:43:27
если будем то только в примерах а теперь00:43:29
я перейду к теореме которое в которой00:43:31
докажу что боюсь таки существует00:43:35
будет звучать достаточно громоздко00:43:38
потому что она будет покрывать00:43:40
много-много ситуации который нам00:43:43
интересна00:43:45
лишь теорема звучит следующим видим00:43:49
пусть у нас есть пространство в в00:43:53
котором уже есть00:43:55
порождающий набор векторов у 1-м00:43:57
конечный00:44:01
порождающий набор в.в.00:44:11
значит кроме того есть набор векторов в00:44:13
один так далее в м который является00:44:17
линейной независимым00:44:21
тогда я утверждаю что набор векторов в00:44:24
один в.н. можно дополнить00:44:29
до базиса00:44:33
добавив кремень00:44:37
виктора из вот этой вот заданный заранее00:44:40
порождающий системы00:44:43
добавляем какие-то виктора00:44:48
из порождающий систему у один так далее00:44:52
м00:44:56
вот такие дела00:45:04
давайте немножко обсудим как мы будем00:45:07
идти ему доказывать00:45:09
идея00:45:12
банально00:45:14
значит мы берем просто вот так вот набор00:45:17
векторов в r 1 так далее в.н. и00:45:20
просто начинаем к нему добавлять вектора00:45:24
u 1 м00:45:28
до тех пор пока система не станет00:45:31
линейно зависимой но соответственно и00:45:33
если в какой-то момент00:45:36
упремся в том что наша система00:45:39
как бы мы не добавляли оставшийся00:45:42
виктора из набора у 1-м будет линейно00:45:45
зависимый в этот момент мы видим и00:45:47
должны доказать что мы получили по00:45:50
пространству и мы соответственно00:45:51
получили порождающую систему которая00:45:54
ужас-то все еще остается линейно00:45:56
независимы вот логика доказательства00:45:58
такая00:46:00
ну я наверно буду00:46:05
значит вот эту логику00:46:09
оформлять виде индукции виде доказать00:46:12
что по индукцию ну давайте это сделаем00:46:16
индукция у меня будет ну про00:46:18
единственность мы потом поговорим00:46:21
вот пока продолжаем доказывать наш терем00:46:24
значит индукция будет по следующему00:46:27
числу00:46:28
значит количеству00:46:32
викторов00:46:34
из набора у 1-м00:46:38
которые не лежат в линейной комбинации00:46:42
лежат в линейной комбинации00:46:50
в линейной комбинации давайте так вот00:46:53
пространство порожденным в один в.н.00:46:59
то есть множество всех линейных00:47:01
комбинаций векторов в 1 в зачем здесь00:47:05
индукция про не можешь сказать что00:47:07
каждый вектор является не комбинации00:47:09
ушек а каждого ускоряется ни на когда00:47:11
совершаешь можно было таким когда она00:47:14
выделения комбинации длинных комбинации00:47:15
тура летящую линейной комбинации00:47:19
я00:47:21
быстро но после что где тот кинуться00:47:29
индукция смотрите вы00:47:32
вашим рассуждение вот вы00:47:36
вы таки давайте поочередно по00:47:40
значит одному викторович у к этому00:47:42
набору00:47:44
с тем чтобы он оставался линии или00:47:46
независимым00:47:52
ну например00:47:59
ты не знаем00:48:02
ну это конечно индукцию но00:48:10
ладно наверное не надо хорошо давайте00:48:13
просто безумно fci если вам так проще00:48:15
вот в любом случае вот эта величина00:48:18
довольно интересно значит количество00:48:19
вектора u 1 м которые не лежат в этом00:48:23
пространстве потому что уж точно понятно00:48:25
что эта величина будет уменьшаться00:48:27
всегда ну хорошо00:48:33
давайте попробуем без индукции доказать00:48:35
плести вот мы берем просто набор в один00:48:38
в н добавляем какие-то виктор очки в00:48:40
один из набора у 1 м до тех пор пока ну00:48:45
вот там значит у один там у кота00:48:47
допустим мы их добавляем и в какой то00:48:50
момент мы не можем добавить ни одного00:48:52
вектора к этому набору с тем чтобы он00:48:54
остался линей независимым то есть вот00:48:56
это вот долл кота номера но00:48:58
линейно независимая как только мы00:49:01
добавляем какое-то у этой где и00:49:05
значит строго больше чем корр вот набор00:49:08
становится не независим не надо показать00:49:10
что вот этот набор является вальсу00:49:14
ну кусок про то что это набор линий00:49:17
независимым видимо00:49:20
по построению у нас получаются вот00:49:24
осталось понять почему же от порождающая00:49:26
система мы действительно значит здесь00:49:28
все00:49:35
здесь в общем то несложно разобраться00:49:37
почему ну давайте заметим что в00:49:40
подпространстве порожденным вот этим вот00:49:43
набором векторов в00:49:44
н1 так далее у кота и что в этом00:49:48
подпространстве лежать все вектора u это00:49:50
и правильно00:49:53
мы согласны с тем что не все здесь лежат00:49:55
в этом пространство пространство00:49:59
тело и ты00:50:01
для любого индекса и неважно больше он к00:50:05
или меньше к у00:50:08
1 ук а это как раз те которые не лежат в00:50:11
один время оу 1 ук а это те которые мы00:50:14
добавили00:50:16
мы так сделали перед номеров q чтобы они00:50:19
дали перу ему00:50:20
еще раз таки как мы их выбрали ну вот мы00:50:24
берем добавляем у один с тем чтобы00:50:27
наборы в один в и у один был ли не00:50:30
независим потом добавляем u20 она больше00:50:33
почему такое существует или когда он00:50:35
перестал существовать мы остановимся мы00:50:37
когда он перестанет существовать мы00:50:38
остановимся и нам как раз нужно00:50:40
проанализировать момент постановки00:50:42
понять в момент остановки мы получили00:50:45
базис00:50:48
так00:50:51
ну ладно хорошо вот мы что такой момент00:50:54
остановки момент остановки это когда мы00:50:56
все следующие ушки пытаемся добавить и00:50:59
получается линейно зависимой системы00:51:01
векторов00:51:02
вот если я попытался добавить у это вот00:51:05
к этому номеру при и больше чем к и у00:51:08
меня получился линейно зависимый набор00:51:10
виктору это означает что у это выражался00:51:14
через в 1 г н так далее у один у как00:51:18
правильно00:51:25
есть те кто над пояснить00:51:36
вот эта вот строчку понятно что если я00:51:41
не могу добавить уйти то есть если я00:51:43
добавляю увитые системы становится00:51:45
линейно зависимый то это означает что у00:51:48
это и выражался через все остальные00:51:50
виктора мы тут пользуемся теоремой00:51:53
которая была о линейной зависимости00:51:55
линейных комбинаций овощей на чем я00:51:57
пользуюсь или или чего тогда не ну00:52:00
хорошо представьте себе что у вас было00:52:03
линейной комбинации есть какая-то00:52:05
константа на улице плюс наш сумма там00:52:09
лямда это плюс блиндажи той выжидая там00:52:14
плюс сумма у00:52:18
значит там не lt уэйд и00:52:23
река это начну и или бегает от единички00:52:27
дока00:52:28
вот такая линейная комбинация получилось00:52:31
равно нулю значит вопрос водка extension00:52:35
либо ноль либо не 000:52:39
ну если он ноль то что тогда получается00:52:43
получается вот этого слагаемого нет и мы00:52:46
уже получили линейную комбинацию00:52:51
предыдущего набора векторов но он00:52:52
линейно независимы00:52:54
поэтому от линейной комбинация она не00:52:58
может быть равно нулю если не все00:53:00
коэффициенты равны нулю00:53:02
правильно00:53:07
ну значит там ну допустим в исходной00:53:11
линии на что не все равны нулю значит в00:53:13
исходной линейной комбинации все были00:53:14
равны нулю зачем же мы и так ну а мы ее00:53:17
такой не брали правильно мы все-таки00:53:20
предположили что у это я зависим со00:53:22
всеми остальными наборами которого00:53:24
вправим00:53:29
согласны00:53:34
значит вот таком случае не бывает00:53:37
вот значит бывает второй случай только00:53:39
когда c не равна нулю но тогда мы его00:53:41
можно поделить если мы на него по деле00:53:43
мы перенесем вот это выражение вот сюда00:53:45
правую часть то мы получим что это00:53:48
равняется -1 центра ну и дальше на вот00:53:51
это вот выражение правильно00:53:55
но это означает что у это выразился как00:53:57
линейной комбинации через все остальные00:53:59
векторы00:54:04
вот то есть в любых линейных комбинаций00:54:05
бывает такая что-либо это линейная00:54:08
комбинация не зависит от у этого00:54:11
значит либо уйти можно выразить через00:54:14
все виктора в этой линейной комбинацией00:54:16
у кристиана 000:54:19
возвращаемся теперь вот этому тезису00:54:21
значит и выражается через наш набор00:54:23
векторов в один в.н. у 1 ук а то есть вы00:54:26
это лежит вот в этом подпространстве то00:54:29
есть подпространство лежит внутри b но00:54:31
при этом оно само по себе р-раз вино00:54:33
содержит все uid и значит оно содержит в00:54:36
себе и под пространство порожденная все00:54:38
митино00:54:43
в правильно ну потому что один время00:54:45
порождающая систему00:54:52
ну всего значит таким образом мы00:54:56
получаем что вот здесь вот на самом деле00:54:58
равенство ну и вот наш набор он также00:55:02
является порождающий00:55:05
системы для всего в то есть является00:55:08
базисом коль скоро он сам ленин и00:55:11
независим то есть поскольку у это00:55:14
порождающие системы и любое уйти сервер00:55:17
нашем наборе мы увидели да00:55:23
хорошо значит суть стране божества мы00:55:27
доказали ну00:55:29
не совсем давайте я следствия00:55:31
сформулирую на самом деле это стоило00:55:34
проговорить самого начала что в условии00:55:36
теоремы можно было считать что набор в00:55:38
один в.м. пусть00:55:44
в любом тогда из этого я получаю что в00:55:46
любом пространстве есть базис00:55:51
ну в любом пространстве в котором есть00:55:53
конечный00:55:55
порождающий набор виктору00:56:03
собственно мне нужно на самом деле для00:56:06
того чтобы дать00:56:10
потом00:56:14
да что скажет на00:56:15
пост это смысл это означает что n равно00:56:18
0 нет ни одного вектора в этом наборе00:56:23
это нигде не влияет здесь на00:56:24
доказательства как вы можете заметить00:56:27
ну просто мы добавляя набор вот эти00:56:30
вуазен у как пустому множество векторов00:56:32
так для этого нам надо найти порождающий00:56:36
набор да да да выбирать какой-то00:56:38
порождающий наборы может это был brasil00:56:41
почему он есть00:56:45
куда значимую часть что это обязательно00:56:48
сами00:56:49
да да да это условие при котором мы00:56:53
производим все наши доказательства во00:56:56
всех интересующих нас примеру конечно00:56:58
конечно и порождающий набор будет иметь00:57:01
место если бы у вас вы не ограничивались00:57:04
с рассмотрением пространств которых00:57:06
только конечный базис00:57:08
то вы могли бы в качестве порождающего00:57:11
набора взять все в00:57:14
у вас будет никак не смутило00:57:19
я надеюсь это ответ на ваш вопрос то00:57:21
есть если ваша правота большой вы не00:57:24
забора сам не рассматриваем просто00:57:26
берете все в качестве порождающего00:57:28
набора но здесь конечно для наших00:57:31
рассуждений важно конечность и поэтому00:57:33
мы предполагаем что у нас есть конечно и00:57:35
порождающая система и00:57:39
так ну про суммы пересечении но к00:57:42
шеронова тысяч00:57:45
значит продолжаем говорить про базис а00:57:48
именно нам надо говорить про00:57:50
существование боятся00:57:54
proedit спускаюсь00:57:57
вообще-то базисных каком смысле не00:57:59
единственный кроме одного разве что00:58:01
нюансы00:58:04
который нам интересен а именно00:58:06
оказывается что если у вас есть00:58:09
пространство в00:58:13
которая порождено конечным набором00:58:15
викторов00:58:16
то размер любых двух базис этого00:58:20
пространства в одинаков так и кричу00:58:23
тогда размер00:58:27
любых двух00:58:31
базисов в00:58:35
одинаков00:58:38
экране чем00:58:45
поняв делать бесконечно мерной ситуации00:58:47
все обычно говорят что любые два базис00:58:49
векторного пространства равна мощно вот00:58:52
во первых не думают про вот эту условия00:58:54
во вторых говорят про мощных более чем00:58:59
давайте эту и теорему докажем00:59:05
вот здесь нам как раз понадобится00:59:07
теорема о линейной зависимости линейных00:59:09
комбинаций00:59:10
почему вы представьте что у вас есть два00:59:14
базису00:59:16
я могу считать что один из них конечен00:59:19
потому что я могу этот базис выделить из00:59:21
вот этого порождающие система правильно00:59:24
один базис эталоны я всегда могу взять и00:59:28
выделить вот из этой порождающие00:59:29
системам00:59:30
поэтому у меня есть один конечный базис00:59:33
давайте он будет называться я один ген00:59:36
значит а второй базис какой-то00:59:39
[музыка]00:59:41
значит давайте будем его называть буквы00:59:43
эту базис как множество будем называть00:59:46
буквы f и вампы состоит из каких-то00:59:48
элементов и volk00:59:51
может быть пусть он даже бесконечный00:59:54
меня это не особо интересует00:59:57
значит при чем здесь теорему линии01:00:00
независимости линейных комбинаций01:00:02
значит дело в том что мы с вами знаем01:00:03
что все вектора f и t01:00:09
выражаются через city01:00:17
потому что ей ты и базис и наоборот все01:00:21
биты выражаются через и five01:00:25
ну давайте теперь применять в одну01:00:27
сторону вот мы знаем что все e altri01:00:30
выражаются через хиты вопрос как улыбка01:00:32
кому может быть мощность вот это у01:00:34
множества давайте представимся что в01:00:36
этом множестве и хотя бы n плюс один01:00:38
элемент f1 так далее fn + 101:00:43
тогда это у нас есть n плюс один элемент01:00:45
который выражаясь через n элементов01:00:47
тогда от набора линейно зависима01:00:49
правильно по теореме о линейной01:00:51
зависимости линейных комбинаций01:00:56
речь и потому что это кусок базиса и01:01:00
соответственно01:01:02
к любой под набор линейно независимого01:01:04
набора должен быть линейно независимы01:01:09
правильным01:01:13
ну значит отсюда мы автоматически01:01:16
получаем что базис f конечный набор01:01:19
векторов01:01:23
ну и в частности мы понимаем что м01:01:26
меньше либо равно n не может быть не01:01:29
можем здесь найти n плюс один вектор его01:01:32
теперь в другую сторону точно так же01:01:34
разве это выражается через опыт и01:01:37
то у нас получается по теореме о01:01:40
линейной зависимости линейных комбинаций01:01:42
неравенство в другую сторону01:01:47
это видимо следует что m равно нас01:01:50
теорема доказана самом деле самая важная01:01:53
теорема про базисы и и теорему приводит01:01:58
нас к следующему понятию01:02:00
значит пусть в01:02:02
некоторое пространство векторная над01:02:05
полем как тогда размерностью01:02:08
пространство01:02:11
называется количество элементов в базисе01:02:13
вы01:02:23
вот как мы только что доказали это01:02:25
величина не зависит от того какой базис01:02:28
вы нашли в пространство01:02:30
соответственно все наше пространство01:02:32
пульт скоро они имеют базе с конечной то01:02:35
они называются конечно мерными01:02:49
то есть как только ваше пространство01:02:50
порождено каким-то конечным набором01:02:52
векторов то в нем есть конечной базиса01:02:55
но конечно мерно это имеет конечную01:02:57
размерность01:03:01
тоже нам хочется сказать про наши01:03:05
конечные мерные пространство01:03:08
ну вообще-то неплохо бы сделать01:03:10
следующее замечание01:03:11
а именно любое подпространство конечно01:03:15
мерного пространство само по себе01:03:16
конечно мерно если у вас есть опыт01:03:18
пространство внутри пространства это она01:03:21
конечно верно01:03:22
сделаю чуть более интересное замечание а01:03:25
именно я сделаю следующее докажу01:03:27
следующее что размерность01:03:30
обязательно меньше либо равна01:03:32
размерности и01:03:33
более того есть если размерность у01:03:37
равна размерности в то это происходит01:03:40
тогда и только тогда когда уровневая01:03:46
но давайте мы это замечание докажем и01:03:49
после этого уже поговорим про01:03:51
какую-нибудь другую тему01:03:56
там есть просто масса замечание такого01:03:58
сорта01:04:00
вот ну потому что они нам не понадобится01:04:04
если захотите можете конспектов смотреть01:04:06
что там еще можно сказать и еще мелкие01:04:08
средства можно получить01:04:12
давайте докажем теорему01:04:15
таким образом на самом деле что мне01:04:20
нужно сделать01:04:21
мне нужно понять какого может быть01:04:24
размерность какое может быть количество01:04:27
элементов в линейной независимой системе01:04:29
внутри пространства у01:04:34
ну давайте возьмем какую-нибудь конечную01:04:37
линейная независимую систему внутри01:04:40
пространства у01:04:44
ну раз это линейно независимая система01:04:47
внутри пространства в01:04:52
то ее размер не01:04:55
превосходит размерность в правильно01:04:58
потому что любую линейной независимую01:05:00
систему можно дополнить добавит в01:05:02
следовать в ней элементов не больше чем01:05:04
в базисе в который конечен и размер01:05:08
которого равен размерности вы значит что01:05:10
мы теперь получаем01:05:13
что мы теперь получим мы получаем что01:05:15
размер любой линейно независимой системы01:05:17
внутри у01:05:23
не более чем размерностью01:05:27
в общем это почти конец доказательства01:05:30
вот это вот первые через те согни так но01:05:33
вы до сих пор не понимаем почему вообще01:05:35
базис есть01:05:37
хоть какой-нибудь01:05:42
ну то есть почему у есть хоть01:05:45
какой-нибудь01:05:47
хоть какая-нибудь порождающая система01:05:49
конечно чтобы к ней можно было применить01:05:52
нашу замечательную теорему о01:05:55
жителям можно взять любой базис01:05:58
ожидающая система для в и оставить01:06:00
только те которые входят в01:06:02
схемы по хорошему если не двоится тогда01:06:06
можно найти сколь и года на большую01:06:10
линейно независимую систему если она не01:06:13
линейно независимых у то она не линейный01:06:15
вид независимо в да вот правильное01:06:18
рассуждение01:06:20
значит давайте приведем контрпример для01:06:23
начала к тому рассуждению которое было в01:06:25
начале что можно взять все базисные01:06:27
элементы которые не лежат в ууу это01:06:30
довольно распространенная ошибка что01:06:33
люди начинают думать про01:06:36
базисные элементы01:06:39
как будто из них составлена все01:06:42
векторное пространство ну а ну это01:06:45
составлена только при помощи разных01:06:47
операций не как в теории множеств все01:06:49
элементы просто дословно равны каким-то01:06:51
из перед вышеперечисленного списка и вот01:06:54
здесь это играть значительную роль вот01:06:56
нас пространство в эту плоскость а01:07:00
про раструбу это вот такая вот01:07:02
замечательная01:07:03
прямая01:07:05
которой не совпадает ни с одной из осей01:07:07
ну например01:07:09
прямая игрек равно икс01:07:16
мы берем базисные векторы i1 и i201:07:20
который просто стандартные базисные01:07:21
векторы ну и видно что если мы оставим01:07:23
из них01:07:25
только те которые лежат внутри part01:07:27
пространству то нечего нам просто не01:07:30
светит мы не получим порождающую систему01:07:33
а получим просто пустой набор виктору ну01:07:35
чтож на правильный ответ тем временем01:07:37
уже был озвучен правильный ответ такой01:07:40
действительно если у нас нет порождающий01:07:42
системы01:07:43
конечный то видимо никакого конечного01:07:46
набора векторов01:07:49
недостаточно чтобы породить наш01:07:50
пространству когда мы можем один за01:07:53
другим просто брать добавлять новые01:07:56
новые виктора с тем чтобы они были01:07:57
линейно независимы мы никогда этот01:07:59
процесс не закончим потому что если мы01:08:01
его закончили когда то не смогли бы01:08:04
добавить новый вектор то мы бы получили01:08:06
порождающую систему01:08:08
ну и вот ситуацию нас получается сколь01:08:11
угодно большой линейно независимой набор01:08:13
виктору ну чего видимо как мы уже поняли01:08:16
быть не может и01:08:18
так значит мы обсудили первую часть вот01:08:21
этот это рассуждение которое доказывало01:08:24
что размерность пространства всегда01:08:26
меньше либо равна размерность01:08:27
пространства и теперь нам фактически нам01:08:29
доказать стрелку в одну сторону а именно01:08:31
что из равенства размерности следует01:08:33
равен стоило пространств01:08:35
ну вроде когда ну представьте себе что у01:08:39
нас эти пространства были неравны01:08:42
размерности равны а сами пространство не01:08:44
равны она лежит внутри в поэтому это01:08:47
означает что должен найтись какой-то01:08:48
вектор о чикаго и маленькая из в который01:08:51
не лежит в01:08:53
ну тогда давайте посмотрим на базису это01:08:57
у1 какое-то там у к у01:09:00
н а н н это размерность вы и01:09:04
одновременно и добавим к этому набору01:09:06
виктора чик в я утверждаю что новый01:09:09
получившийся набор также будет01:09:11
оставаться линейно независимыми01:09:14
ну действительно если я беру какую-то01:09:17
сумму в которой участвуют и в и у 1м01:09:21
которые равно нулю01:09:23
я могу эту сумму просто разбить таким01:09:25
образом наш ум аль анды это у это и01:09:28
предположу что она равна нулю значит01:09:30
равняется ценовые правильно у01:09:33
меня было разность равна нулю до01:09:37
получилось вот такое равенство что это01:09:40
означает если такое возможно если бы та01:09:42
та цэй не равно нулю01:09:44
то это означает что у меня мой вектор v01:09:48
лежит такие01:09:51
что не так я здесь не01:09:56
должен был это принадлежность01:09:59
итак если у меня вот есть линейная01:10:03
комбинация которая равна нулю то с одной01:10:05
стороны если цель не равно нулю к это01:10:07
означает что мы вектора лежал в а если01:10:10
все равно нулю то это означает что вот01:10:13
это вот линейной комбинации одних ушек01:10:15
равно нулю на ночь противоречие с тем01:10:18
что это базис01:10:22
вот поэтому не могу я взять этот вектор01:10:25
увэй добавить значит такого вектора v01:10:27
просто быть не может отсюда следует что01:10:29
мое пространство у равно пространство01:10:32
маленьких правда ли что здесь мы здесь01:10:35
считали что вы конечно мерное01:10:39
да да да вы конечно мерно01:10:42
мне по второй части вопроса есть мы01:10:44
добавляем вектор v01:10:48
поскольку они не равны тут он такой01:10:50
вектор найдется01:10:52
да01:10:54
оказывает сейчас мы его добавим то01:10:56
всегда базис мы его добавим то всегда01:10:59
будет ли независимая система01:11:01
вот при цене равна народ что происходит01:11:04
вот если c не равно нулю можно на него01:11:07
поделить считать что у равна единице01:11:11
окажется у01:11:13
все понял спасибо01:11:16
и так хорошо с этим мы разобрались так01:11:20
сколько у нас еще есть почти 20 минут01:11:23
ладно01:11:25
давайте попробуем обсудить тогда еще01:11:27
одну тему я есть мой любимый пример как01:11:32
понятие линейной независимости01:11:35
какую роль она играет в теории чисел01:11:39
и я люблю приводить пример есть такое01:11:42
понятие может быть вы знаете01:11:44
алгебраические числа01:11:46
и трансцендентные число значит речь01:11:49
будет идти у нас для простоты про01:11:50
комплексные числа01:11:53
мы не будем обсуждать более сложную01:11:57
алгебраической точки зрения ситуации вот01:11:59
у нас есть комплексное число какой то01:12:01
она называется алгебраическим01:12:09
если есть и 0 многочлен01:12:14
с рациональными коэффициентами01:12:19
такое что альфа является корнем01:12:21
многочленов01:12:28
ну соответственно если это не выполнено01:12:30
тулы01:12:33
здесь такого многочлена нет то альфы01:12:35
называется трансцендентном01:12:41
переписать01:12:46
тунис01:12:48
да что ж такое-то01:12:56
но я01:12:59
классический пример трансцендентных01:13:01
чисел это числа есть постоянный эйлера и01:13:04
число пи01:13:05
доказывать я не буду это в общем не так01:13:09
просто как может хочется01:13:11
если доказать то что это не рационально01:13:13
чистку совсем наивно можно доказать то01:13:16
что они не трансцендентные сутки на01:13:18
сложнее01:13:19
то что они не алгебраические все-таки01:13:22
сложнее01:13:23
но тем ни менее прологе алгебраические01:13:26
числа будут массы разных полезных01:13:28
свойств но то что я хочу доказать01:13:32
следующие01:13:34
представьте себе что у вас есть какое-то01:13:38
алгебраическое число альфу01:13:41
и01:13:42
тогда вы можете посмотреть разные разные01:13:44
выражения которые получаются при помощи01:13:47
вашего числа альфа например вы можете01:13:49
взять какой-нибудь многочлен с01:13:51
рациональными коэффициентами01:13:54
и01:13:55
посмотреть значение этого многочлена в01:13:58
точке а ну то есть это будет какой-то а01:14:00
ну alt + tab a1 альфа плюс а-два альфа в01:14:03
квадрате и так далее01:14:05
а.м. альфа-банк01:14:08
вопрос01:14:11
а01:14:12
и фото alfa она является алгебраическим01:14:14
или нет01:14:25
вот оказывается что ответ на этот вопрос01:14:27
довольно простой и01:14:30
из базовых соображений линейной алгебры01:14:33
получать проскура01:14:35
после можно поставить один многочлен в01:14:38
другое01:14:39
они так что нет это не даст вам ничего01:14:43
нет это не так если вы хотите формулу01:14:46
получить технически можно написать01:14:48
формулу нет формы будет каким-то01:14:50
определителем01:14:52
нескучно то пошло01:14:56
формула01:14:58
значит для того многочлена который01:15:00
обнуляется факторов а довольно сложно но01:15:03
действительно ответ да и фото alfa01:15:05
всегда будет алгебраическим01:15:09
если прическам да если альфа героический01:15:15
то многочлен от альфа всегда отражал01:15:17
героическое число01:15:19
вот это несложно понять давайте подумаем01:15:22
почему это так ну действительно давайте01:15:25
рассмотрим вот такое пространство в01:15:26
значит это пространство над01:15:28
рациональными числами01:15:31
и это будет пространство в митрий01:15:33
комплексных чисел которая повреждено01:15:37
единицы альфа альфа в квадрате и так01:15:40
далее альфу в н и и так далее ну можно01:15:42
считать что до бесконечности01:15:45
можно считать что до бесконечности но на01:15:48
самом деле можно прерываться01:15:50
на конечном уровне почему но давайте01:15:53
заметим что если вот наш многочлен имел01:15:56
имел вид я не знаю какой у нас там в01:16:00
ноль плюс и так далее с б м x винный тот01:16:04
самый магазин который обнулил мой01:16:05
элементе кальку ну bm не понял дел01:16:08
неравную01:16:09
я предполагаю здесь то на самом деле вот01:16:12
это то что этот многочлен отгулял01:16:15
элемент альфа равносильно тому что альфа01:16:17
умный выражаются через меньшей степени01:16:20
альфа01:16:25
меньше степени альфа ну соответственно о01:16:29
чем я здесь могу обрезать я могу здесь01:16:31
на m минус первой степени на самом деле01:16:33
взять и вот этот рай . боролась01:16:35
значит почему мне это нужно давайте я01:16:38
вот этот f от альфы обозначил01:16:39
какой-нибудь буковкой бета давайте01:16:42
смотреть я утверждаю что внутри этого01:16:44
пространства в лежат все элементы вида01:16:48
11 понятное дело лежит01:16:50
написан бтв это лежит это какая-то сумма01:16:54
каких то степеней альфа01:16:56
ну дальше здесь же лежат бета в квадрате01:16:59
потому что бы это в квадрате это тоже01:17:01
какая-то сумма степеней альфа ну и не01:17:03
важно что их разум эти степени могут01:17:05
гольф больше чем -1 они все равно01:17:08
выражаются через предыдущие насчет бета01:17:11
в кубе ну и так далее до бесконечности01:17:12
правильно01:17:15
согласны01:17:18
скажите пожалуйста что такое01:17:21
ну вот м это01:17:24
степень многочлена п которая гуляет01:17:32
нет01:17:34
нём у нас здесь участвовал как степень01:17:37
многочлена с01:17:39
это число дальше не будет вы01:17:41
рассуждениях участвовать никаким образом01:17:45
просто чтобы она не путалась вот здесь01:17:46
буква н используется для многочленом по01:17:50
это произвольный многочлен произвольный01:17:55
еще рассчитан тест моего сейчас01:17:59
используя это многочлен который из01:18:01
условия алгебра и части01:18:04
вала каретки для того чтобы оборвать вот01:18:08
эту цепочку степеней альфа01:18:11
мне дальше не надо продолжать01:18:14
что ничего нового я не получу01:18:18
согласны01:18:19
и01:18:22
[музыка]01:18:24
я не согласен ну представьте себе что01:18:28
здесь альфу и мне написала я утверждаю01:18:30
что она выражается через предыдущий01:18:32
степень01:18:34
давайте посмотрим вот я подставляю от01:18:36
меня известно что при от альфа равно01:18:38
нулю что это означает это означает что01:18:40
бы вы мне альфу в мне плюс б м минус 101:18:43
альфа в степени n минус 1 плюс и так01:18:46
далее а 0 равно нулю правильно и плюс b01:18:49
равно 001:18:52
делю на б.н.01:18:56
переношу альфа вы переношу вот эту штуку01:18:59
в другую сторону01:19:01
и получаю альфа вмд равно сумме меньше01:19:04
степеней с какими-то коэффициентами01:19:05
правильно почему мы раньше так не могли01:19:07
сделать ставляют меньше чем01:19:11
может и могли01:19:14
меняет не волнуют меня волнует что01:19:16
дальше ничего нового не получится01:19:18
понятно я могу что все все все степени01:19:22
альфы которых бесконечно много01:19:24
содержится внутри пространства01:19:25
размерность которого конечно01:19:28
все понял the sea больше01:19:31
значит это пространство напоминаю надо01:19:33
рациональными числами то есть все01:19:34
коэффициенты все вот эти вот башки все01:19:36
здесь ему рационально01:19:40
т.к.01:19:42
а причем комплексные числа тогда ну мне01:19:46
просто все где-то должно лежать я01:19:48
откуда-то идеале выберу01:19:50
так не а мы про комплексной или про01:19:52
вещественные числа гарри да про01:19:54
комплексные какая разница понятия о01:19:56
чем-то тихо для других работа все на01:19:59
скаляр и рационально скаляру01:20:02
рациональные01:20:04
подставлять многочлена мы можем лишь01:20:06
любые значений01:20:08
то есть векторы это комплексные числа а01:20:12
коэффициенты при них виктора01:20:13
рациональные ok01:20:18
бета и альфа почему f alphago или01:20:21
вышки01:20:25
вот-вот f от альфы это какой-то01:20:27
полиномиальное выражение от01:20:29
альфа-самца коэффициентами умножу я его01:20:33
еще раз на себя тоже будет полина01:20:34
выражение коэффициент01:20:39
согласны и01:20:49
здесь мы на финишной прямой уже01:20:51
практически01:20:53
давайте заметим что раз размерность вы01:20:55
конечно01:20:58
найдется такой набу такая степень01:21:03
101:21:06
степень к такое что вот этот вот набора01:21:08
линейно зависима01:21:12
ну на самом деле01:21:14
там к01:21:16
равна n гарантированно подойдет01:21:30
правильно ну не может же у вас быть01:21:33
элементов в вашем пространстве больше01:21:35
чем01:21:36
порождают размер порождающего множество01:21:39
правда01:21:40
вот здесь я напоминаем и да м минус 101:21:43
м01:21:47
ну а дальше что значит линейная01:21:50
зависимость этого набора это означает01:21:52
что существуют такие c0 так далее цкт01:21:56
такое что c 0 плюс к цкт умножить на b01:22:00
твц первое прошу прощения умножить на01:22:03
бета01:22:05
значит плюс c 2 умножить на b в квадрате01:22:09
плюс так далее плюс цкт на бытовка ты01:22:12
равно нулю01:22:14
порно ну вот мы получили что некоторые01:22:18
многочленом гуляет бету при этом не все01:22:20
цветы равны нулю01:22:26
но это означает что это многочлен сам по01:22:27
себе не 001:22:29
согласна-согласна01:22:33
себя значит все основные чем вот такое01:22:37
качественное рассуждение это типичный01:22:40
пример того как может использоваться01:22:42
линейно добра ну вот частности линейной01:22:44
алгебры всю речку01:22:45
это не конструктивная доказательства01:22:48
добыл и она на конструктивную01:22:50
конструктивность как а мы можем понять01:22:52
вот вы берете там я не знаю вот у вас01:22:54
типичный элемент корень кубический из01:22:56
двух там 2 на корень кубический из двух01:22:58
плюс данные за три на корень кубический01:23:00
из четырех01:23:03
значит вы в этой ситуации это01:23:06
пространство порожденная один корень01:23:08
кубический из двух корень кубический из01:23:10
4 ну то есть корень кубический 2 в01:23:12
квадрате дальше не надо потому что01:23:14
корень кубический из двух удовлетворяет01:23:16
уравнение 3 стейками правильно01:23:19
ударный вы берете этот элемент бета01:23:23
возводите его в квадрат01:23:27
на он должен выражаться как элементе01:23:32
квот это увы но это не сложно на самом01:23:35
деле сделать вы берете бета в квадрат01:23:36
возводятся потом01:23:38
сводите все старшие степени корня01:23:42
кубического из двух вот этим двум первым01:23:46
правильно значит тоже какой-то там c на01:23:49
корень кубический из двух там01:23:51
д на единицу и плюс там я не знаю е на01:23:56
корень кубический из 401:23:59
то же самое делается для бета в кубе01:24:03
ну вот а потом вы ищете нетривиальную к01:24:06
линейную комбинацию единиц равна единице01:24:08
вот и что нет реально никогда решить01:24:10
линейно раз чем ли я право нарушить01:24:13
систему линейных уравнений01:24:14
я надеюсь что вы на практике уже01:24:16
разобрали что нахождение нетривиальной01:24:19
линейной зависимости равносильно и01:24:21
решение системы линейных уравнений ну и01:24:24
вот здесь в общем то же самое будет01:24:27
первым01:24:29
почему вас никак не интересует константа01:24:31
которая перед корнями стоят01:24:34
они нас будут интересовать01:24:35
или контента наших да это коэффициент01:24:38
систему не как-то будут там устроены но01:24:42
я сейчас не считаю вам конкретику и стал01:24:46
конкретику я позаботился01:24:48
материал немножко нить того что это01:24:51
вообще такое01:24:52
а откуда вот эти они сейчас сейчас все01:24:55
понимаешься01:24:58
так ну что у нас получилось значит мы01:25:00
поняли как ленин алгебра применяется01:25:02
давайте под конец я дам парочку01:25:05
определений01:25:07
формулируется рему а в следующий раз мы01:25:09
докажем наверно01:25:13
смотрите01:25:14
многим уже захотелось поработать с01:25:17
векторными пространствами как конечно01:25:19
мерными как будто это множества конечны01:25:21
и на самом деле поначалу векторные01:25:26
пространства дают повод думаешь про них01:25:28
ну конечно мерный векторное пространство01:25:31
дает думать про них как будто это01:25:33
конечно и множеством ну вот в частности01:25:36
когда у вас есть два подмножество01:25:39
u1i u2 внутри какого-то множество в01:25:42
образ подмножество01:25:44
есть стандартные операции с теории01:25:47
множеств01:25:48
а именно пересечение и01:25:51
объединение правильно01:25:56
которые позволяют вам о двум под01:25:58
множеством вашего множество получить два01:26:00
новых правильно01:26:03
на самом деле нечто подобное есть и в01:26:06
контексте01:26:07
векторных подпространств а именно01:26:13
определению если у вас есть два под01:26:16
пространство внутри вашего векторного01:26:18
пространства01:26:21
кто01:26:23
их пересечении является под01:26:26
пространством в и01:26:29
их сумма01:26:34
то есть множество всевозможных сун01:26:38
где первое слагаемое из 1 пространства а01:26:42
второе слагаемое из 2 пространство под01:26:46
множество всевозможных сун тоже является01:26:48
под пространством внутри пространства га01:26:56
это какие-то общие замечания01:26:58
никакой конечно мерности тупы нужно01:27:03
заметьте что объединение вот здесь01:27:06
нельзя взять то есть сумма это и есть01:27:09
наименьшее подпространство наименьшее01:27:12
подпространство01:27:14
которая содержит одновременно первое и01:27:17
второе01:27:19
в качестве подмножеств внутри себя01:27:23
вы не можете взять просто отдельные01:27:26
элементы из 1 и у дуа и сказать что их01:27:29
объединение вместе отдает по01:27:31
пространству нет надо взять и минусу01:27:34
муну характерный пример такой вот у вас01:27:36
есть сам плоскость да что такое01:27:39
векторное пространство внутри плоскость01:27:41
но это прямые проходящие через но и01:27:43
правильно01:27:44
плюс пустое множество и все пространство01:27:46
правда01:27:48
вот если я возьму две прямые и просто их01:27:51
объединю но это ни в каком смысле не01:27:52
будет векторным пространством пример вот01:27:54
эта . она не будет лежать01:27:58
хотя она является суммой двух векторов01:28:00
из этого пространства до01:28:02
из этого множества она не будет лежать в01:28:05
самом этом пространство то есть не будет01:28:07
вот это вот объединение двух прямых не01:28:09
будут являться под пространстве вот но01:28:12
оказывается что сумма и пересечения01:28:15
действительно ведут себя очень похоже на01:28:17
объединение пересечения в обычной теории01:28:20
множеств01:28:21
что игра теорема который звать формула01:28:24
гроссмана говорит следующее01:28:30
но я буду формулировать его в01:28:31
предположение что объемлющее01:28:33
пространство конечно мирно это не vk.com01:28:37
смысле не ограничения01:28:40
и так пусть моё пространство и конечный01:28:42
мерно значит и у есть два под01:28:44
пространство внутри пространства и01:28:47
понятно они тоже конечно мерные поэтому01:28:50
имеет смысл посмотреть на следующее01:28:52
выражение размерность u1 плюс01:28:54
размерность u201:28:59
оказывается что это то же самое что01:29:00
размерность01:29:02
сумма01:29:03
плюс размерность пересечения01:29:08
что вам от формулу напоминает01:29:12
включение исключений это практически01:29:16
такое такая интерпретация форма на01:29:18
включения и исключения01:29:20
следующий раз мы тогда с вами форму01:29:22
луганск мы докажем но я сразу могу01:29:26
предупредить что к сожалению дальше это01:29:28
налоги не идет если вы попробуйте01:29:31
написать аналог формулы включение01:29:32
исключения для трех подпространств вас01:29:35
ждет файл к сожалению она не даст01:29:39
подпространство уже не работает но это01:29:41
вы сами в качестве упражнения можете01:29:42
проверить ну все тогда значит на сегодня01:29:45
я все что хотел рассказал01:29:48
если есть вопросы задавайте если нет то01:29:51
можем пойти на перерыв вопрос по01:29:53
доказательства факта право героически01:29:56
числа01:29:57
значит у меня есть мысль о том по моему01:30:01
можно чуть чуть проще было я хочу чтобы01:30:04
сказали правда лишь ту рассуждения верны01:30:06
или где то есть ошибка вы смотрите в на01:30:08
самом деле подпространство не только01:30:10
комплексных но и алгебраических чисел01:30:13
надо сказать что алгебре число01:30:15
пространство вот тут то вы помрете01:30:18
скорее для но там на доказать что сумма01:30:21
двух01:30:23
фактическое число а это введение01:30:27
произведение на константу01:30:30
могут пространство ну да хорошо да да01:30:32
сумму сумм его тоже панель встречи с ума01:30:36
по моему это следует из вот того что01:30:38
дальше у нас есть01:30:41
сумму можно доказать по аналогии с вот01:30:46
этой теоремой01:30:47
там можно рассмотреть просто другое под01:30:51
пространство в котором очевидно сумму01:30:53
содержится конечно мерная заведомую и01:30:57
поэтому сумму тоже алгебраическая но01:31:00
строить это пространство сложнее чем01:31:03
строить топ который вас написано01:31:07
но я просто не знаю ну хорошо допустим01:31:09
вы доказали что алгебраически это01:31:11
пространство что дальше дальше мы просто01:31:14
это не сильно упрощение просто в целом01:31:16
то есть могут получили по-прежнему что у01:31:19
нас есть пространство в которое состоит01:31:21
из 1 альфа и так далее альфа минус01:31:23
первом и в первый и в этом01:31:26
подпространстве очевидно содержится01:31:29
пэт альфа не поэт альфа альфа01:31:33
просто она содержится если она01:31:35
содержится здесь-то но содержит всего01:31:36
героически значит те фото alfa01:31:38
алгебраическая а01:31:39
в этом смысле ну да да да ну тут для01:31:43
сумму сложнее показать01:31:47
вот а самое главное что это на самом01:31:49
деле работающая процедура то есть те01:31:52
люди которые занимаются очки вычислить01:31:54
на теории чисел они ну им нужны иногда01:31:58
находить01:31:59
многочленами которые обновляют ново01:32:02
построенные числа и вот они делают это01:32:04
таким образом01:32:06
он уже посчитать два числа и сложить их01:32:09
и что ну это же хорошее приближение01:32:13
будет но они не сложить но ушел для чего01:32:17
смотря если вы хотите найти линейное01:32:19
уравнение на вашу вот у вас до ночи01:32:21
слуге то вы хотите найти у него01:32:24
уравнения с рациональными коэффициентами01:32:27
знаете что он алгебраическое ну как01:32:30
найти уравнение01:32:31
ну в ответ вот примерно такое надо там01:32:34
расписать бету01:32:37
расписать степени бета и найти линейную01:32:39
зависимость01:32:42
а то есть если мы пар просто подставим01:32:45
это в магазин то будет до дольше01:32:49
вы ну как вы угадаете многочлен нет еще01:32:53
раз например мы знаем альфы мы хотим01:32:55
найти фото alfa мы не хотим найти01:32:58
фаталиев так и так находится всегда а мы01:33:01
хотим найти уравнение которому01:33:03
удовлетворяет f от альфа а зачем еще раз01:33:05
для того что приближается01:33:09
такая задача стоите на стоит обычно01:33:12
внутри и теории чисел самой по себе01:33:18
ну то есть это задача01:33:22
я не знаю где об этом в программе sky01:33:24
прикладной какой-то бункер могли01:33:26
понадобиться был героически число самих01:33:27
себя01:33:29
разве что это могло бы быть по моему это01:33:32
не участвует но там всякие там говоришь01:33:35
по числу будем там нету такой из истории01:33:39
там никто уравнение не ищет насколько я01:33:41
помню01:33:43
вот но тем не менее да это стандартная01:33:46
история значит считаете01:33:51
ну то есть там вернее как вы решить эти01:33:52
слова поле могут может понадобиться01:33:54
только там обычно не делают это01:33:56
параметры выбирают так чтобы не нужно01:33:58
будет01:34:00
ну часто вам нужно найти например01:34:03
упражнения на ifa так ну например f от01:34:07
альфу альфу в квадрате врачам просто01:34:09
возведение в квадрат исходного элемента01:34:11
но как вы напишите уравнение на квадрат01:34:14
исходного элемента если вы знаете01:34:16
уравнение на альфа01:34:18
ну вообще так не так очевидно как01:34:20
хочется я убедил вас что это01:34:24
я вокруг сказал для чего это нужно во01:34:26
вторых надеюсь убедилась что это мы хотя01:34:28
речь это ложь это странное начали01:34:30
говорить не это я это уступит был01:34:33
пришита это я просто01:34:38
попытался подумать если у этой задачи01:34:41
какая-то практическая мотивация но по01:34:43
крайней мере в теории чисел ну часто01:34:46
нужно находить уравнение01:34:51
алгебраические01:34:54
а01:34:55
такие вот01:34:56
выражение от исходного элемент у нас01:34:59
есть элемент альфа по которым узнали что01:35:01
он алгебраически начинаете например01:35:03
уровней на альфа в квадрате01:35:08
это не всегда легко01:35:10
ok можно как мы это01:35:13
ищем итоге то есть вот но математически01:35:15
а приятному писать один атом этот альфа01:35:17
авторов падать и так далее вот эту01:35:20
систему01:35:21
ну да ну вот я здесь попытался привести01:35:24
пример ну вот у вас01:35:27
бета если альфу вас этот корень01:35:30
кубический из 201:35:33
абед это ну вот такая чтобы 2 на корень01:35:36
кубический звук плюс 3 на корень01:35:37
кубический из 4 ну то есть давайте я01:35:41
здесь напишу просто альфа receive a в01:35:44
квадрате01:35:47
позволите бету в квадрат01:35:49
у вас получается там что-то пре-альфа в01:35:51
4 но что-то пре-альфа в 4 так как у вас01:35:54
есть соотношение эльфов куда разных вы01:35:57
можете переписать через меньшей степени01:35:59
значит получается вот такая чтобы01:36:01
альф альф в квадрате01:36:04
точно то же самое для b то в клубе можно01:36:06
сделать01:36:08
а дальше вы подбираете так коэффициенты01:36:10
чтобы все степени альфа сократились01:36:12
чтобы все стала нулём это заведомо можно01:36:15
сделать потому что у вас четыре элемента01:36:17
в трехмерном пространстве01:36:21
ok01:36:23
ну то что заведомо нас осталось от01:36:25
здорово ну по факту равно решение01:36:26
системы линейных уравненийОписание:
Лекция 17 | Алгебра | Автор: Константин Чепуркин | Курс: Алгебра | Организаторы: Математическая лаборатория имени П.Л. Чебышева Смотрите это видео на Лекториуме: https://www.lektorium.tv/node/39408 Смотрите все лекции курса «Алгебра»: https://www.lektorium.tv/node/38907 Подписывайтесь на канал: https://www.youtube.com/user/OpenLektorium Следите за новостями: https://vk.com/openlektorium https://www.facebook.com/unsupportedbrowser
Готовим варианты загрузки
* — Если видео проигрывается в новой вкладке, перейдите в неё, а затем кликните по видео правой кнопкой мыши и выберите пункт "Сохранить видео как..."
** — Ссылка предназначенная для онлайн воспроизведения в специализированных плеерах
Вопросы о скачивании видео
Как можно скачать видео "Лекция 17 | Алгебра | Константин Чепуркин | Лекториум"?
Сайт http://unidownloader.com/ — лучший способ скачать видео или отдельно аудиодорожку, если хочется обойтись без установки программ и расширений. Расширение UDL Helper — удобная кнопка, которая органично встраивается на сайты YouTube, Instagram и OK.ru для быстрого скачивания контента.
Программа UDL Client (для Windows) — самое мощное решение, поддерживающее более 900 сайтов, социальных сетей и видеохостингов, а также любое качество видео, которое доступно в источнике.
UDL Lite — представляет собой удобный доступ к сайту с мобильного устройства. С его помощью вы можете легко скачивать видео прямо на смартфон.
Какой формат видео "Лекция 17 | Алгебра | Константин Чепуркин | Лекториум" выбрать?
Наилучшее качество имеют форматы FullHD (1080p), 2K (1440p), 4K (2160p) и 8K (4320p). Чем больше разрешение вашего экрана, тем выше должно быть качество видео. Однако следует учесть и другие факторы: скорость скачивания, количество свободного места, а также производительность устройства при воспроизведении.
Почему компьютер зависает при загрузке видео "Лекция 17 | Алгебра | Константин Чепуркин | Лекториум"?
Полностью зависать браузер/компьютер не должен! Если это произошло, просьба сообщить об этом, указав ссылку на видео. Иногда видео нельзя скачать напрямую в подходящем формате, поэтому мы добавили возможность конвертации файла в нужный формат. В отдельных случаях этот процесс может активно использовать ресурсы компьютера.
Как скачать видео "Лекция 17 | Алгебра | Константин Чепуркин | Лекториум" на телефон?
Вы можете скачать видео на свой смартфон с помощью сайта или pwa-приложения UDL Lite. Также есть возможность отправить ссылку на скачивание через QR-код с помощью расширения UDL Helper.
Как скачать аудиодорожку (музыку) в MP3 "Лекция 17 | Алгебра | Константин Чепуркин | Лекториум"?
Самый удобный способ — воспользоваться программой UDL Client, которая поддерживает конвертацию видео в формат MP3. В некоторых случаях MP3 можно скачать и через расширение UDL Helper.
Как сохранить кадр из видео "Лекция 17 | Алгебра | Константин Чепуркин | Лекториум"?
Эта функция доступна в расширении UDL Helper. Убедитесь, что в настройках отмечен пункт «Отображать кнопку сохранения скриншота из видео». В правом нижнем углу плеера левее иконки «Настройки» должна появиться иконка камеры, по нажатию на которую текущий кадр из видео будет сохранён на ваш компьютер в формате JPEG.
Сколько это всё стоит?
Нисколько. Наши сервисы абсолютно бесплатны для всех пользователей. Здесь нет PRO подписок, нет ограничений на количество или максимальную длину скачиваемого видео.